Номер 3.5, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.5, страница 36.

Условие.

3.5. Исследуйте на чётность функцию:

1) $g(x) = x^n$, где $n \in \mathbf{N}$ и $n$ — нечётное;

2) $g(x) = \frac{|x|}{x}$;

3) $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}$;

4) $g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x}};$

5) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1};$

6) $f(x) = (x + 2)|x - 4| - (x - 2)|x + 4|.$

Решение.

1) Функция $g(x) = x^n$, где $n \in N$ и $n$ — нечётное.
Область определения функции $D(g) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n$.
Так как по условию $n$ — нечётное число, то $(-1)^n = -1$.
Следовательно, $g(-x) = -x^n = -g(x)$.
Функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

2) Функция $g(x) = \frac{|x|}{x}$.
Область определения функции $D(g): x \neq 0$, то есть $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{|-x|}{-x}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$g(-x) = \frac{|x|}{-x} = -\frac{|x|}{x} = -g(x)$.
Функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) Функция $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x}$.
Область определения функции находится из системы неравенств: $\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ 4 + x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$.
Таким образом, $D(f) = [-4; 4]$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{4 - (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = f(x)$.
Функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

4) Функция $g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x}}$.
Область определения функции находится из условий: $\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 3 + x \ge 0 \\ \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x} \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -3 \\ 3 - x \neq 3 + x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in [-3; 3] \\ -x \neq x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in [-3; 3] \\ x \neq 0 \end{cases}$.
Таким образом, $D(g) = [-3; 0) \cup (0; 3]$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{3 - (-x)} - \sqrt{3 + (-x)}} = \frac{x^2}{\sqrt{3 + x} - \sqrt{3 - x}} = \frac{x^2}{-(\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x})} = -g(x)$.
Функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

5) Функция $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}$.
Область определения функции $D(f): x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|5(-x) - 2| + |5(-x) + 2|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|-5x - 2| + |-5x + 2|}{x^2 - 1}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$|-5x - 2| = |-(5x + 2)| = |5x + 2|$.
$|-5x + 2| = |-(5x - 2)| = |5x - 2|$.
Тогда $f(-x) = \frac{|5x + 2| + |5x - 2|}{x^2 - 1} = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1} = f(x)$.
Функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

6) Функция $f(x) = (x + 2)|x - 4| - (x - 2)|x + 4|$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x + 2)|-x - 4| - (-x - 2)|-x + 4|$.
Преобразуем выражение, используя свойства модуля $|-a| = |a|$:
$f(-x) = (2 - x)|-(x + 4)| - (-(x + 2))|-(x - 4)| = (2 - x)|x + 4| + (x + 2)|x - 4|$.
Переставим слагаемые:
$f(-x) = (x + 2)|x - 4| + (2 - x)|x + 4| = (x + 2)|x - 4| - (x - 2)|x + 4| = f(x)$.
Функция является чётной.
Ответ: функция чётная.