Вопросы?, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - страница 35.

Условие.

1. Какую функцию называют чётной (нечётной)?

2. Какую область определения функции называют симметричной относительно начала координат?

3. Каким свойством обладает график чётной (нечётной) функции?

4. Как можно представить функцию, область определения которой симметрична относительно начала координат?

Решение.

1. Какую функцию называют чётной (нечётной)?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть для любого $x$ из $D(f)$ число $-x$ также принадлежит $D(f)$) и для любого $x$ из области определения выполняется равенство:

$f(-x) = f(x)$

Примерами чётных функций являются $y = x^2$, $y = \cos x$, $y = |x|$.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат и для любого $x$ из области определения выполняется равенство:

$f(-x) = -f(x)$

Примерами нечётных функций являются $y = x^3$, $y = \sin x$, $y = \frac{1}{x}$.

Если для функции не выполняется ни одно из этих условий, то она является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной), например $y = x - 2$.

Ответ: Чётной называют функцию, у которой для любого $x$ из симметричной области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Нечётной называют функцию, у которой для любого $x$ из симметричной области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

2. Какую область определения функции называют симметричной относительно начала координат?

Область определения функции (или любое другое числовое множество) называют симметричной относительно начала координат (или относительно нуля), если для каждого числа $x$, принадлежащего этой области, противоположное ему число $-x$ также принадлежит этой области.

Иначе говоря, если $x \in D$, то и $-x \in D$.

Примеры симметричных областей:

• Интервал $(-a, a)$, например, $(-3, 3)$.
• Отрезок $[-a, a]$, например, $[-1, 1]$.
• Вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.
• Объединение интервалов, симметричных друг другу, например $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

Примеры несимметричных областей:

• $[0, 5)$
• $(-4, 1)$

Ответ: Область определения функции называют симметричной относительно начала координат, если вместе с каждым своим элементом $x$ она содержит и противоположный элемент $-x$.

3. Каким свойством обладает график чётной (нечётной) функции?

Свойства чётности и нечётности функции определяют симметрию её графика.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если точка с координатами $(x, y)$ лежит на графике, то и точка с координатами $(-x, y)$ также лежит на этом графике. Это свойство вытекает непосредственно из определения: $y = f(x) = f(-x)$.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$). Это означает, что если точка с координатами $(x, y)$ лежит на графике, то и точка с координатами $(-x, -y)$ также лежит на этом графике. Это свойство вытекает из определения: $y=f(x)$, а $f(-x)=-f(x)=-y$.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$), а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

4. Как можно представить функцию, область определения которой симметрична относительно начала координат?

Любую функцию $f(x)$, область определения которой симметрична относительно начала координат, можно единственным образом представить в виде суммы чётной функции $g(x)$ и нечётной функции $h(x)$.

$f(x) = g(x) + h(x)$

Чётная и нечётная составляющие функции $f(x)$ находятся по следующим формулам:

Чётная часть: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

Нечётная часть: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Таким образом, любое такое преобразование можно записать как:

$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{чётная часть}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{нечётная часть}}$

Это представление полезно в математическом анализе, например, при разложении функций в ряды Фурье.

Ответ: Любую функцию, область определения которой симметрична относительно начала координат, можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.