Номер 2.44, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.44, страница 31.

Условие.

2.44. Докажите, что при всех $x \in [1; 2]$, $y \in [1; 2]$ выполняется неравенство $3(x+y) \ge 2xy + 4$.

Решение.

Для доказательства неравенства $3(x + y) \geq 2xy + 4$ при $x \in [1; 2]$ и $y \in [1; 2]$ преобразуем его, перенеся все слагаемые в левую часть:

$3x + 3y - 2xy - 4 \geq 0$

Рассмотрим левую часть этого неравенства как функцию от переменной $x$, считая $y$ постоянным параметром, который может принимать любое значение из отрезка $[1; 2]$. Обозначим эту функцию как $f(x)$:

$f(x) = 3x + 3y - 2xy - 4$

Сгруппируем члены с переменной $x$:

$f(x) = x(3 - 2y) + (3y - 4)$

Данное выражение представляет собой линейную функцию от $x$ вида $f(x) = kx + b$, где коэффициент $k = 3 - 2y$ и свободный член $b = 3y - 4$.

Свойство линейной функции заключается в том, что на заданном отрезке она принимает своё наименьшее значение на одном из его концов. В нашем случае, чтобы доказать, что $f(x) \geq 0$ для всех $x \in [1; 2]$, нам достаточно проверить, что значения функции на концах отрезка, то есть в точках $x=1$ и $x=2$, являются неотрицательными.

1. Вычислим значение функции при $x=1$:

$f(1) = 1 \cdot (3 - 2y) + (3y - 4) = 3 - 2y + 3y - 4 = y - 1$

Согласно условию, $y \in [1; 2]$, что означает $y \geq 1$. Следовательно, $y - 1 \geq 0$. Таким образом, $f(1) \geq 0$.

2. Вычислим значение функции при $x=2$:

$f(2) = 2 \cdot (3 - 2y) + (3y - 4) = 6 - 4y + 3y - 4 = 2 - y$

Согласно условию, $y \in [1; 2]$, что означает $y \leq 2$. Следовательно, $2 - y \geq 0$. Таким образом, $f(2) \geq 0$.

Так как функция $f(x)$ является линейной по $x$, и на концах отрезка $[1; 2]$ ее значения $f(1)$ и $f(2)$ неотрицательны, то и для любого $x$ из этого отрезка значение $f(x)$ также будет неотрицательным. Это рассуждение верно для любого значения параметра $y$ из отрезка $[1; 2]$.

Следовательно, неравенство $3x + 3y - 2xy - 4 \geq 0$ выполняется для всех $x \in [1; 2]$ и $y \in [1; 2]$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.