Номер 2.39, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.39, страница 30.

Условие.

2.39. Решите уравнение $|x + 1| - |x| = \sqrt{x^4 + 1}$.

Решение.

Проанализируем левую и правую части уравнения $|x + 1| - |x| = \sqrt{x^4 + 1}$.

Рассмотрим правую часть: $\sqrt{x^4 + 1}$. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то подкоренное выражение $x^4 + 1 \ge 1$. Следовательно, значение всей правой части уравнения всегда больше или равно 1: $\sqrt{x^4 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$.

Теперь рассмотрим левую часть: $|x + 1| - |x|$. Воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $|a| - |b| \le |a - b|$. Применив это свойство к нашей левой части, где $a = x+1$ и $b = x$, получим:

$|x + 1| - |x| \le |(x + 1) - x| = |1| = 1$.

Таким образом, значение левой части уравнения всегда меньше или равно 1.

Итак, мы имеем уравнение, в котором левая часть всегда меньше или равна 1, а правая часть всегда больше или равна 1. Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1. Это эквивалентно решению системы уравнений:

$ \begin{cases} |x + 1| - |x| = 1 \\ \sqrt{x^4 + 1} = 1 \end{cases} $

Найдём решение второго уравнения системы:

$\sqrt{x^4 + 1} = 1$

Возведём обе части в квадрат:

$x^4 + 1 = 1^2$

$x^4 = 0$

$x = 0$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = 0$ первому уравнению системы:

$|0 + 1| - |0| = |1| - 0 = 1$.

Равенство $1 = 1$ выполняется. Значит, $x = 0$ является решением и первого уравнения.

Так как $x = 0$ является единственным решением второго уравнения и удовлетворяет первому, то это единственное решение исходного уравнения.

Ответ: $x = 0$.