Номер 2.42, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.42, страница 31.

Условие.

2.42. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^4 - \sqrt{y} = y^4 - \sqrt{x}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases} $

Решение.

Запишем исходную систему уравнений: $$ \begin{cases} x^4 - \sqrt{y} = y^4 - \sqrt{x} \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} $$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнениях присутствуют выражения $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, переменные $x$ и $y$ должны быть неотрицательными: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Преобразуем его, сгруппировав члены с одинаковыми переменными в соответствующих частях уравнения: $$ x^4 + \sqrt{x} = y^4 + \sqrt{y} $$

Данное уравнение имеет вид $f(x) = f(y)$, где $f(t)$ — это функция вида $f(t) = t^4 + \sqrt{t}$, определенная для $t \ge 0$.

Исследуем эту функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную по переменной $t$: $$ f'(t) = (t^4 + t^{1/2})' = 4t^3 + \frac{1}{2}t^{-1/2} = 4t^3 + \frac{1}{2\sqrt{t}} $$

В области определения $t > 0$ оба слагаемых в выражении для производной, $4t^3$ и $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, являются строго положительными. Следовательно, производная $f'(t) > 0$ для всех $t > 0$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго монотонной функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда аргументы равны, то есть $x = y$.

Теперь мы можем использовать полученное равенство $x = y$ и подставить его во второе уравнение системы: $$ x^2 + y^2 = 2 $$ $$ x^2 + x^2 = 2 $$ $$ 2x^2 = 2 $$ $$ x^2 = 1 $$

Из последнего уравнения находим два возможных значения для $x$: $x = 1$ и $x = -1$.

Теперь необходимо проверить эти решения на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). Значение $x = -1$ не удовлетворяет этому условию, поэтому оно является посторонним корнем. Остается единственное возможное решение $x = 1$.

Так как $y = x$, то при $x = 1$ получаем $y = 1$. Таким образом, единственным решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему уравнений: $$ \begin{cases} 1^4 - \sqrt{1} = 1^4 - \sqrt{1} \\ 1^2 + 1^2 = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 - 1 = 1 - 1 \\ 1 + 1 = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0 = 0 \\ 2 = 2 \end{cases} $$ Оба равенства верны, что подтверждает правильность найденного решения.

Ответ: $(1; 1)$.