Номер 2.40, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.40, страница 30.

Условие.

2.40. Решите уравнение $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$.

Решение.

Рассмотрим уравнение $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$9 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 9$

$-3 \le x \le 3$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [-3, 3]$.

2. Проанализируем левую и правую части уравнения (метод оценки)

Обозначим левую часть уравнения как $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$, а правую — как $g(x) = \sqrt{9 - x^2}$.

Рассмотрим функцию $f(x)$. С геометрической точки зрения, её значение — это сумма расстояний на числовой прямой от точки $x$ до точек $1$ и $-2$. Наименьшее значение этой суммы достигается, когда точка $x$ находится на отрезке между точками $-2$ и $1$. В этом случае сумма расстояний постоянна и равна длине этого отрезка: $1 - (-2) = 3$. Если же $x$ находится вне отрезка $[-2, 1]$, то сумма расстояний будет строго больше 3. Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно 3, то есть $f(x) \ge 3$ для всех действительных $x$.

Теперь рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt{9 - x^2}$. Эта функция определена на ОДЗ, то есть на отрезке $[-3, 3]$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $9 - x^2 \le 9$. Из этого следует, что $\sqrt{9 - x^2} \le \sqrt{9} = 3$. Наибольшее значение, равное 3, функция $g(x)$ принимает при $x=0$. Таким образом, $g(x) \le 3$ для всех $x$ из ОДЗ.

3. Найдем решение

Мы решаем уравнение $f(x) = g(x)$. Из проведенного анализа следует, что $f(x) \ge 3$, а $g(x) \le 3$. Равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части уравнения одновременно равны 3.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |x - 1| + |x + 2| = 3 \\ \sqrt{9 - x^2} = 3 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы, так как оно проще:

$\sqrt{9 - x^2} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$9 - x^2 = 9$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=0$ первому уравнению системы. Подставим $x=0$ в первое уравнение:

$|0 - 1| + |0 + 2| = |-1| + |2| = 1 + 2 = 3$

$3 = 3$

Равенство верное. Значит, $x=0$ является решением системы, а следовательно, и исходного уравнения. Это единственное решение.

Ответ: $0$.