Номер 2.43, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.43, страница 31.

Условие.

2.43. Решите систему уравнений

$\begin{cases} 2\sqrt{x+y} + (x+y)^4 = 3, \\ x^2 + y^2 = 1. \end{cases}$

Решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\sqrt{x+y} + (x+y)^4 = 3, \\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

Рассмотрим первое уравнение. Заметим, что оно зависит только от суммы $x+y$. Введем замену: пусть $S = x+y$. Тогда первое уравнение примет вид:

$$ 2\sqrt{S} + S^4 = 3 $$

Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, имеем условие $S \ge 0$.

Для решения этого уравнения сделаем еще одну замену. Пусть $t = \sqrt{S}$. Так как $S \ge 0$, то и $t \ge 0$. Тогда $S = t^2$, и уравнение преобразуется к виду:

$$ 2t + (t^2)^4 = 3 $$

$$ t^8 + 2t - 3 = 0 $$

Это полиномиальное уравнение восьмой степени. Попробуем найти его корни подбором среди делителей свободного члена (-3). Проверим $t=1$:

$$ 1^8 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 $$

Значит, $t=1$ является корнем уравнения. Чтобы проверить, есть ли другие неотрицательные корни, рассмотрим функцию $f(t) = t^8 + 2t - 3$. Найдем ее производную:

$$ f'(t) = 8t^7 + 2 $$

При $t \ge 0$, имеем $t^7 \ge 0$, следовательно $f'(t) = 8t^7 + 2 > 0$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$.

Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Так как мы уже нашли корень $t=1$, других неотрицательных корней у уравнения нет.

Таким образом, единственное подходящее решение для $t$ это $t=1$.

Возвращаемся к переменной $S$. Так как $t = \sqrt{S}$, получаем:

$$ \sqrt{S} = 1 \implies S = 1 $$

Теперь возвращаемся к исходным переменным. Мы получили, что $x+y=1$. Исходная система уравнений сводится к следующей, более простой системе:

$$ \begin{cases} x+y=1, \\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 1-x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$$ x^2 + (1-x)^2 = 1 $$

Раскроем скобки и упростим:

$$ x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1 $$

$$ 2x^2 - 2x = 0 $$

$$ 2x(x-1) = 0 $$

Это уравнение имеет два корня:

1. $x=0$.
Если $x=0$, то $y = 1-x = 1-0 = 1$. Получаем пару $(0, 1)$.

2. $x-1=0 \implies x=1$.
Если $x=1$, то $y = 1-x = 1-1 = 0$. Получаем пару $(1, 0)$.

Обе пары удовлетворяют условию $x+y \ge 0$, так как в обоих случаях $x+y=1$.

Ответ: $(0, 1), (1, 0)$.