Номер 2.49, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.49, страница 31.

Условие.

2.49. Найдите все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие уравнению

$\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{y - 2} = 0.$

Решение.

Данное уравнение представляет собой сумму двух квадратных корней, равную нулю: $ \sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{y - 2} = 0 $.

Арифметический квадратный корень из действительного числа по определению является неотрицательной величиной. Это означает, что для всех допустимых значений $x$ и $y$ выполняются неравенства: $ \sqrt{x^2 - 4x} \ge 0 $ и $ \sqrt{y - 2} \ge 0 $.

Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 4x} = 0 \\ \sqrt{y - 2} = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение этой системы по отдельности.

1. Решим первое уравнение:
$ \sqrt{x^2 - 4x} = 0 $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ x^2 - 4x = 0 $
Вынесем $x$ за скобки:
$ x(x - 4) = 0 $
Это уравнение имеет два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 4 $.

2. Решим второе уравнение:
$ \sqrt{y - 2} = 0 $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ y - 2 = 0 $
Отсюда $ y = 2 $.

Таким образом, мы получили два возможных значения для $x$ и одно значение для $y$. Составим из них пары чисел $(x; y)$, которые являются решением исходного уравнения:

• При $ x = 0 $ и $ y = 2 $ получаем пару $(0; 2)$.
• При $ x = 4 $ и $ y = 2 $ получаем пару $(4; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$, $(4; 2)$.