Номер 3.3, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.3, страница 35.

Условие.

3.3. Функция $f$ нечётная. Может ли выполняться равенство:

1) $f(1) + f(-1) = 1;$

2) $f(2) f(-2) = 3;$

3) $\frac{f(-2)}{f(2)} = 0?\;$

Решение.

По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Используем это свойство для анализа каждого из предложенных равенств.

1) $f(1) + f(-1) = 1$

Так как функция $f$ нечётная, то $f(-1) = -f(1)$. Подставим это в исходное равенство:

$f(1) + (-f(1)) = 1$

$f(1) - f(1) = 1$

$0 = 1$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что исходное равенство не может выполняться для нечётной функции.

Ответ: нет.

2) $f(2)f(-2) = 3$

Для нечётной функции $f$ справедливо $f(-2) = -f(2)$. Подставим это в равенство:

$f(2) \cdot (-f(2)) = 3$

$-(f(2))^2 = 3$

$(f(2))^2 = -3$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(f(2))^2 \ge 0$. Равенство $(f(2))^2 = -3$ не может выполняться для действительных значений функции. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: нет.

3) $\frac{f(-2)}{f(2)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:

1. $f(-2) = 0$

2. $f(2) \neq 0$

Проверим эти условия с учётом нечётности функции $f$. Из свойства нечётности $f(-x) = -f(x)$ следует, что если $f(-2) = 0$, то:

$-f(2) = 0$

$f(2) = 0$

Это противоречит второму условию ($f(2) \neq 0$), согласно которому знаменатель не должен быть равен нулю. Если числитель $f(-2)$ равен нулю, то и знаменатель $f(2)$ тоже равен нулю, а на ноль делить нельзя. Значит, данное равенство выполняться не может.

Ответ: нет.