Номер 3.9, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.9, страница 36.

Условие.

3.9. Одна из функций $f$ или $g$ чётная, другая — нечётная. Известно, что функция $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ определена. Исследуйте на чётность функцию $h$.

Решение.

Для того чтобы исследовать функцию $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ на чётность, необходимо найти значение $h(-x)$ и сравнить его с $h(x)$. По определению, $h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$. Условие, что функция $h(x)$ определена, подразумевает, что её область определения симметрична относительно начала координат.

По условию задачи, одна из функций, $f$ или $g$, является чётной, а другая — нечётной. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $f(x)$ — чётная, а $g(x)$ — нечётная.

Исходя из определений чётной и нечётной функций, имеем: $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.

Подставим эти равенства в выражение для $h(-x)$:

$h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{-g(x)} = -\frac{f(x)}{g(x)} = -h(x)$

Так как $h(-x) = -h(x)$, то в этом случае функция $h(x)$ является нечётной.

Случай 2: $f(x)$ — нечётная, а $g(x)$ — чётная.

Исходя из определений нечётной и чётной функций, имеем: $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = g(x)$.

Подставим эти равенства в выражение для $h(-x)$:

$h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{g(x)} = -\frac{f(x)}{g(x)} = -h(x)$

Так как $h(-x) = -h(x)$, то и в этом случае функция $h(x)$ является нечётной.

Поскольку в обоих возможных случаях выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$, мы можем заключить, что функция $h(x)$ является нечётной.

Ответ: функция $h$ нечётная.