Номер 3.14, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.14, страница 36.

Условие.

3.14. Чётная функция $f$ имеет 7 нулей. Найдите $f(0)$.

Решение.

По определению, функция $f$ является чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Нуль функции — это значение аргумента $x_0$, при котором значение функции равно нулю: $f(x_0) = 0$.

Рассмотрим свойство нулей для чётной функции. Пусть $x_0$ — это нуль функции $f$, то есть $f(x_0) = 0$.

Если $x_0 \neq 0$, то из свойства чётности следует, что $f(-x_0) = f(x_0)$. Так как $f(x_0) = 0$, то и $f(-x_0) = 0$. Это означает, что число $-x_0$ также является нулём функции $f$. Таким образом, все ненулевые нули чётной функции всегда образуют пары $(x_k, -x_k)$. Следовательно, количество ненулевых нулей у любой чётной функции всегда чётно.

В условии задачи сказано, что функция $f$ имеет 7 нулей. Число 7 — нечётное. Так как общее число нулей нечётно, а количество ненулевых нулей обязательно чётно, это может быть только в том случае, если один из нулей не имеет пары. Единственное число, для которого $x = -x$, — это $x=0$.

Таким образом, $x=0$ должен быть одним из нулей функции $f$. По определению нуля функции, это означает, что значение функции в этой точке равно нулю.

$f(0) = 0$

Ответ: 0