Номер 3.18, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.18, страница 37.

Условие.

3.18. Нечётная функция $f$, определённая на $\mathbb{R}$, возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Определите, возрастающей или убывающей является функция $f$ на промежутке $(-\infty; 0)$.

Решение.

Для того чтобы определить, является ли функция $f$ возрастающей или убывающей на промежутке $(-\infty; 0]$, необходимо воспользоваться её свойствами, данными в условии: нечётностью и возрастанием на промежутке $[0; +\infty)$.

1. Определение нечётной функции: функция $f$ нечётная, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

2. Определение возрастающей функции: функция $f$ возрастает на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Рассмотрим промежуток $(-\infty; 0]$. Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие, что $x_1 < x_2$. Таким образом, мы имеем $x_1 < x_2 \le 0$.

Теперь рассмотрим точки $-x_1$ и $-x_2$. Умножив неравенство $x_1 < x_2$ на $-1$, мы изменим знак неравенства на противоположный:

$-x_1 > -x_2$

Поскольку $x_2 \le 0$, то $-x_2 \ge 0$. Следовательно, мы можем записать двойное неравенство:

$0 \le -x_2 < -x_1$

Это означает, что точки $-x_2$ и $-x_1$ принадлежат промежутку $[0; +\infty)$. По условию задачи, на этом промежутке функция $f$ возрастает. Поэтому, из неравенства $-x_2 < -x_1$ следует:

$f(-x_2) < f(-x_1)$

Теперь используем свойство нечётности функции $f$. Заменим $f(-x_2)$ на $-f(x_2)$ и $f(-x_1)$ на $-f(x_1)$:

$-f(x_2) < -f(x_1)$

Умножим обе части этого неравенства на $-1$, что снова приведёт к изменению знака неравенства на противоположный:

$f(x_2) > f(x_1)$

Это неравенство можно переписать в виде $f(x_1) < f(x_2)$.

Таким образом, мы доказали, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $f$ является возрастающей на промежутке $(-\infty; 0]$.

Ответ: возрастающей.