Номер 3.19, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.19, страница 37.

Условие.

3.19. Функция $f$ чётная и $\min_{[1;3]} f(x) = 2$, $\max_{[1;3]} f(x) = 5$. Найдите $\min_{[-3;-1]} f(x)$, $\max_{[-3;-1]} f(x)$.

Решение.

По определению, чётная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Рассмотрим связь между интервалами $[-3; -1]$ и $[1; 3]$. Если переменная $x$ принадлежит интервалу $[-3; -1]$, то есть $-3 \le x \le -1$, то переменная $-x$ будет принадлежать интервалу $[1; 3]$, так как, умножив неравенство на -1, получим $1 \le -x \le 3$.

Поскольку функция $f$ является чётной, для любого $x \in [-3; -1]$ выполняется равенство $f(x) = f(-x)$, где $-x \in [1; 3]$. Это означает, что множество всех значений, которые функция $f(x)$ принимает на интервале $[-3; -1]$, полностью совпадает с множеством всех значений, которые она принимает на интервале $[1; 3]$. Следовательно, минимальное и максимальное значения функции на этих двух интервалах будут одинаковыми.

$\min_{[-3; -1]} f(x)$

Так как множество значений на интервалах $[-3; -1]$ и $[1; 3]$ совпадает, то и минимальные значения функции на этих интервалах равны: $\min_{[-3; -1]} f(x) = \min_{[1; 3]} f(x)$. По условию задачи, $\min_{[1; 3]} f(x) = 2$. Значит, и минимальное значение на искомом интервале равно 2.

Ответ: 2

$\max_{[-3; -1]} f(x)$

Аналогично, максимальные значения функции на этих интервалах также равны: $\max_{[-3; -1]} f(x) = \max_{[1; 3]} f(x)$. По условию задачи, $\max_{[1; 3]} f(x) = 5$. Значит, и максимальное значение на искомом интервале равно 5.

Ответ: 5