Номер 3.25, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.25, страница 37.

Условие.

3.25. Упростите выражение $\sqrt{a-2+2\sqrt{a-3}}$.

Решение.

Для упрощения выражения $\sqrt{a - 2 + 2\sqrt{a - 3}}$ необходимо представить выражение под внешним корнем в виде полного квадрата.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным, то есть:

$a - 3 \ge 0 \implies a \ge 3$

При этом условии $a \ge 3$, выражение под внешним корнем $a - 2 + 2\sqrt{a - 3}$ также будет неотрицательным, поскольку $a-2 \ge 3-2 = 1$ и $2\sqrt{a-3} \ge 0$.

Теперь преобразуем подкоренное выражение, чтобы выделить полный квадрат, используя формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Представим $a - 2$ в виде $(a-3) + 1$. Тогда выражение примет вид:

$a - 2 + 2\sqrt{a - 3} = (a - 3) + 1 + 2\sqrt{a - 3}$

Перегруппируем слагаемые:

$(a - 3) + 2\sqrt{a - 3} + 1$

Это выражение можно представить как квадрат суммы, если принять $x^2 = a-3$ и $y^2=1$. Тогда $x=\sqrt{a-3}$ и $y=1$. Проверим член с удвоенным произведением: $2xy = 2 \cdot \sqrt{a-3} \cdot 1 = 2\sqrt{a-3}$. Это совпадает с нашим выражением.

Следовательно, мы можем записать:

$(a - 3) + 2\sqrt{a - 3} + 1 = (\sqrt{a - 3})^2 + 2 \cdot \sqrt{a - 3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a - 3} + 1)^2$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt{a - 2 + 2\sqrt{a - 3}} = \sqrt{(\sqrt{a - 3} + 1)^2}$

Используя свойство $\sqrt{z^2}=|z|$, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{a - 3} + 1)^2} = |\sqrt{a - 3} + 1|$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $a \ge 3$, то $\sqrt{a - 3} \ge 0$. Значит, сумма $\sqrt{a - 3} + 1$ всегда будет положительной ($\ge 1$). Поэтому знак модуля можно опустить.

$|\sqrt{a - 3} + 1| = \sqrt{a - 3} + 1$

Ответ: $\sqrt{a - 3} + 1$