Вопросы?, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - страница 43.

Условие.

1. Как можно получить график функции $y = kf (x)$, где $k \neq 0$, используя график функции $y = f (x)$?

2. Какая фигура является графиком функции $y = ax^2$, где $a \neq 0$?

3. Какая точка является вершиной параболы $y = ax^2$?

4. Как направлены ветви параболы $y = ax^2$ при $a > 0$? При $a < 0$?

5. Какова область определения функции $y = ax^2$, где $a \neq 0$?

6. Какова область значений функции $y = ax^2$ при $a > 0$? При $a < 0$?

7. Укажите нули функции $y = ax^2$.

8. Укажите промежутки знакопостоянства функции $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$.

9. На каком промежутке возрастает и на каком промежутке убывает функция $y = ax^2$ при $a > 0$? При $a < 0$?

10. Как можно получить график функции $y = f (kx)$, где $k \neq 0$, используя график функции $y = f (x)$?

Решение.

1. Как можно получить график функции $y = kf(x)$, где $k \neq 0$, используя график функции $y = f(x)$?

Чтобы построить график функции $y = kf(x)$, зная график функции $y = f(x)$, нужно преобразовать ординаты (координаты $y$) каждой точки исходного графика. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ переходит в точку $(x_0, k \cdot y_0)$ на графике $y = kf(x)$. Это преобразование является растяжением или сжатием графика вдоль оси ординат $Oy$.

• Если $|k| > 1$, график $y = f(x)$ растягивается от оси абсцисс $Ox$ в $|k|$ раз.
• Если $0 < |k| < 1$, график $y = f(x)$ сжимается к оси абсцисс $Ox$ в $1/|k|$ раз.
• Если $k < 0$, то помимо растяжения или сжатия, график дополнительно симметрично отражается относительно оси абсцисс $Ox$.

Ответ: График функции $y = kf(x)$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ путем его растяжения (при $|k| > 1$) или сжатия (при $0 < |k| < 1$) вдоль оси $Oy$ в $|k|$ раз. Если $k < 0$, график также отражается симметрично относительно оси $Ox$.

2. Какая фигура является графиком функции $y = ax^2$, где $a \neq 0$?

Функция вида $y = ax^2$ является квадратичной функцией. График любой квадратичной функции представляет собой кривую, которая называется параболой.

Ответ: Парабола.

3. Какая точка является вершиной параболы $y = ax^2$?

Вершина параболы — это точка, в которой функция принимает свое наименьшее или наибольшее значение. Для функции $y = ax^2$ эта точка соответствует значению $x=0$. При $x=0$, $y = a \cdot 0^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в начале координат.

Ответ: Вершиной параболы является точка с координатами $(0, 0)$.

4. Как направлены ветви параболы $y = ax^2$ при $a > 0$? При $a < 0$?

Направление ветвей параболы $y = ax^2$ зависит от знака коэффициента $a$.

• При $a > 0$, так как $x^2 \geq 0$ для любого $x$, значения функции $y = ax^2$ будут всегда неотрицательными ($y \geq 0$). Следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• При $a < 0$, значения функции $y = ax^2$ будут всегда неположительными ($y \leq 0$). Следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: При $a > 0$ ветви параболы направлены вверх; при $a < 0$ ветви параболы направлены вниз.

5. Какова область определения функции $y = ax^2$, где $a \neq 0$?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Выражение $ax^2$ определено для любого действительного числа $x$, так как возведение в квадрат и умножение на число являются операциями, определенными для всех действительных чисел.

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

6. Какова область значений функции $y = ax^2$ при $a > 0$? При $a < 0$?

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$.

• При $a > 0$: Поскольку $x^2 \geq 0$, то $ax^2 \geq 0$. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при $x=0$. Таким образом, область значений — все неотрицательные числа.
• При $a < 0$: Поскольку $x^2 \geq 0$, то $ax^2 \leq 0$. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при $x=0$. Таким образом, область значений — все неположительные числа.

Ответ: При $a > 0$ область значений $E(y) = [0; +\infty)$; при $a < 0$ область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

7. Укажите нули функции $y = ax^2$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Чтобы найти нули, нужно решить уравнение $ax^2 = 0$. Так как по условию $a \neq 0$, то единственным решением этого уравнения является $x^2=0$, откуда $x=0$.

Ответ: Нулем функции является $x=0$.

8. Укажите промежутки знакопостоянства функции $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Нуль функции $x=0$ разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• При $a > 0$: Функция $y = ax^2$ положительна ($y>0$) при всех $x \neq 0$, так как $a>0$ и $x^2>0$.
• При $a < 0$: Функция $y = ax^2$ отрицательна ($y<0$) при всех $x \neq 0$, так как $a<0$ и $x^2>0$.

Ответ: При $a > 0$ функция положительна ($y>0$) на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; при $a < 0$ функция отрицательна ($y<0$) на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

9. На каком промежутке возрастает и на каком промежутке убывает функция $y = ax^2$ при $a > 0$? При $a < 0$?

Характер монотонности функции зависит от знака коэффициента $a$. Вершина параболы в точке $x=0$ является точкой смены монотонности.

• При $a > 0$ (ветви вверх): функция убывает на промежутке от $-\infty$ до вершины и возрастает на промежутке от вершины до $+\infty$.
• При $a < 0$ (ветви вниз): функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до вершины и убывает на промежутке от вершины до $+\infty$.

Ответ: При $a > 0$ функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$; при $a < 0$ функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

10. Как можно получить график функции $y = f(kx)$, где $k \neq 0$, используя график функции $y = f(x)$?

Чтобы построить график функции $y = f(kx)$, зная график функции $y = f(x)$, нужно преобразовать абсциссы (координаты $x$) каждой точки исходного графика. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ переходит в точку $(x_0/k, y_0)$ на графике $y = f(kx)$. Это преобразование является сжатием или растяжением графика вдоль оси абсцисс $Ox$.

• Если $|k| > 1$, график $y = f(x)$ сжимается к оси ординат $Oy$ в $|k|$ раз.
• Если $0 < |k| < 1$, график $y = f(x)$ растягивается от оси ординат $Oy$ в $1/|k|$ раз.
• Если $k < 0$, то помимо сжатия или растяжения, график дополнительно симметрично отражается относительно оси ординат $Oy$.

Ответ: График функции $y = f(kx)$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ путем его сжатия (при $|k| > 1$) или растяжения (при $0 < |k| < 1$) вдоль оси $Ox$ в $1/|k|$ раз. Если $k < 0$, график также отражается симметрично относительно оси $Oy$.