Номер 4.6, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.6, страница 44.

Условие.

4.6. На рисунке 4.16 изображён график функции $y = g(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(-x);$

2) $y = g\left(\frac{3}{2}x\right);$

3) $y = g(-3x).$

Рис. 4.16

Решение.

Для построения графиков искомых функций воспользуемся методами преобразования графиков. Исходный график — это функция $y = g(x)$. Выделим на нем несколько характерных точек для отслеживания их преобразований: $A(-4, 0)$, $B(-3, 1)$ (локальный максимум), $C(-2, 0)$, $D(0, 2)$ (локальный максимум), $E(1, 0)$, $F(2, -2)$ (локальный минимум), $G(3, 0)$, $H(4, 2)$.

1) y = f(-x);

Предположим, что в условии допущена опечатка, и требуется построить график функции $y = g(-x)$, так как дан график именно функции $g(x)$.

Преобразование вида $y = g(-x)$ означает симметричное отражение (зеркальное отображение) исходного графика $y = g(x)$ относительно оси ординат (оси OY). Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=g(x)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$ на новом графике. Ордината (значение по y) точки остается неизменной, а ее абсцисса (значение по x) меняет знак на противоположный.

Применим это преобразование к нашим характерным точкам:

• $A(-4, 0) \rightarrow A'(4, 0)$
• $B(-3, 1) \rightarrow B'(3, 1)$
• $C(-2, 0) \rightarrow C'(2, 0)$
• $D(0, 2) \rightarrow D'(0, 2)$ (точка на оси отражения остается на месте)
• $E(1, 0) \rightarrow E'(-1, 0)$
• $F(2, -2) \rightarrow F'(-2, -2)$
• $G(3, 0) \rightarrow G'(-3, 0)$
• $H(4, 2) \rightarrow H'(-4, 2)$

Соединив новые точки плавной линией в том же порядке, получим график функции $y = g(-x)$.

Ответ: График функции $y = g(-x)$ является зеркальным отражением графика $y = g(x)$ относительно оси OY. Часть графика, находившаяся справа от оси OY, окажется слева, и наоборот. Максимум в точке $(-3, 1)$ переместится в точку $(3, 1)$, а минимум в точке $(2, -2)$ переместится в точку $(-2, -2)$.

2) y = g($\frac{3}{2}$x);

Преобразование вида $y = g(kx)$ при $|k| > 1$ соответствует сжатию графика по горизонтали (к оси OY) в $k$ раз. В данном случае $k = \frac{3}{2} = 1.5$, что больше единицы. Следовательно, мы должны сжать график $y = g(x)$ к оси OY в 1.5 раза.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(\frac{x_0}{k}, y_0)$, то есть в точку $(\frac{x_0}{3/2}, y_0) = (\frac{2}{3}x_0, y_0)$. Ординаты точек остаются теми же, а абсциссы умножаются на коэффициент $\frac{2}{3}$.

Найдем новые координаты для характерных точек:

• $A(-4, 0) \rightarrow A''(-4 \cdot \frac{2}{3}, 0) = (-\frac{8}{3}, 0) \approx (-2.67, 0)$
• $B(-3, 1) \rightarrow B''(-3 \cdot \frac{2}{3}, 1) = (-2, 1)$
• $C(-2, 0) \rightarrow C''(-2 \cdot \frac{2}{3}, 0) = (-\frac{4}{3}, 0) \approx (-1.33, 0)$
• $D(0, 2) \rightarrow D''(0, 2)$ (точка на оси OY остается на месте)
• $E(1, 0) \rightarrow E''(1 \cdot \frac{2}{3}, 0) = (\frac{2}{3}, 0) \approx (0.67, 0)$
• $F(2, -2) \rightarrow F''(2 \cdot \frac{2}{3}, -2) = (\frac{4}{3}, -2) \approx (1.33, -2)$
• $G(3, 0) \rightarrow G''(3 \cdot \frac{2}{3}, 0) = (2, 0)$
• $H(4, 2) \rightarrow H''(4 \cdot \frac{2}{3}, 2) = (\frac{8}{3}, 2) \approx (2.67, 2)$

Соединив новые точки, получим сжатый по горизонтали график.

Ответ: График функции $y = g(\frac{3}{2}x)$ получается путем горизонтального сжатия графика $y = g(x)$ к оси OY в 1.5 раза. Все точки графика, сохраняя свою высоту, становятся в 1.5 раза ближе к оси OY. Максимум из точки $(-3, 1)$ переходит в точку $(-2, 1)$, а минимум из точки $(2, -2)$ — в точку $(\frac{4}{3}, -2)$.

3) y = g(-3x).

Данное преобразование можно выполнить в два шага: сжатие и отражение. Преобразование $y = g(kx)$ при $k = -3$ соответствует горизонтальному сжатию в $|k|=3$ раза и последующему отражению относительно оси OY.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(\frac{x_0}{k}, y_0)$, то есть в точку $(\frac{x_0}{-3}, y_0) = (-\frac{x_0}{3}, y_0)$. Ординаты точек не меняются, а абсциссы делятся на -3.

Найдем новые координаты для характерных точек:

• $A(-4, 0) \rightarrow A'''(-\frac{-4}{3}, 0) = (\frac{4}{3}, 0) \approx (1.33, 0)$
• $B(-3, 1) \rightarrow B'''(-\frac{-3}{3}, 1) = (1, 1)$
• $C(-2, 0) \rightarrow C'''(-\frac{-2}{3}, 0) = (\frac{2}{3}, 0) \approx (0.67, 0)$
• $D(0, 2) \rightarrow D'''(-\frac{0}{3}, 2) = (0, 2)$
• $E(1, 0) \rightarrow E'''(-\frac{1}{3}, 0) \approx (-0.33, 0)$
• $F(2, -2) \rightarrow F'''(-\frac{2}{3}, -2) \approx (-0.67, -2)$
• $G(3, 0) \rightarrow G'''(-\frac{3}{3}, 0) = (-1, 0)$
• $H(4, 2) \rightarrow H'''(-\frac{4}{3}, 2) \approx (-1.33, 2)$

Соединив полученные точки, мы получим график, который сжат в 3 раза по горизонтали и отражен относительно оси OY.

Ответ: График функции $y = g(-3x)$ получается из графика $y = g(x)$ путем сжатия по горизонтали к оси OY в 3 раза с последующим отражением относительно оси OY. Максимум из точки $(-3, 1)$ переместится в точку $(1, 1)$, а минимум из $(2, -2)$ — в точку $(-\frac{2}{3}, -2)$.