Номер 4.11, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.11, страница 45.

Условие.

4.11. Докажите, что функция $y = ax^2$ при $a < 0$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся определением монотонности функции. Функция $y(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$. Функция называется убывающей, если при тех же условиях выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Рассмотрим разность значений функции $y = ax^2$ в точках $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$):

$y(x_2) - y(x_1) = ax_2^2 - ax_1^2 = a(x_2^2 - x_1^2) = a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.

Знак этой разности определяет, возрастает или убывает функция.

Доказательство того, что функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$

Пусть $x_1$ и $x_2$ – две произвольные точки из промежутка $(-\infty; 0]$, причем $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 0$. Проанализируем знак выражения $a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$:

• $a < 0$ (согласно условию).
• $x_2 - x_1 > 0$ (так как по определению $x_1 < x_2$).
• $x_2 + x_1 < 0$ (так как $x_1$ и $x_2$ – неположительные числа, и по крайней мере $x_1$ строго отрицательное).

Произведение состоит из одного отрицательного множителя ($a$), одного положительного ($x_2 - x_1$) и одного отрицательного ($x_2 + x_1$). Результат произведения $(-)\cdot(+)\cdot(-)$ является положительным числом.

Следовательно, $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что равносильно $y(x_1) < y(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $y=ax^2$ при $a < 0$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Ответ: Доказано, что при $a<0$ функция $y=ax^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Доказательство того, что функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$

Пусть $x_1$ и $x_2$ – две произвольные точки из промежутка $[0; +\infty)$, причем $x_1 < x_2$. Это означает, что $0 \le x_1 < x_2$. Проанализируем знак выражения $a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$:

• $a < 0$ (согласно условию).
• $x_2 - x_1 > 0$ (так как по определению $x_1 < x_2$).
• $x_2 + x_1 > 0$ (так как $x_1$ и $x_2$ – неотрицательные числа, и по крайней мере $x_2$ строго положительное).

Произведение состоит из одного отрицательного множителя ($a$) и двух положительных ($x_2 - x_1$ и $x_2 + x_1$). Результат произведения $(-)\cdot(+)\cdot(+)$ является отрицательным числом.

Следовательно, $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$. Согласно определению, это означает, что функция $y=ax^2$ при $a < 0$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: Доказано, что при $a<0$ функция $y=ax^2$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.