Номер 4.14, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.14, страница 45.

Условие.

4.14. Постройте график функции:

1) $y = 2[x];$

2) $y = -\frac{1}{2}\{x\};$

3) $y = 3 \operatorname{sgn} x.$

Решение.

1) $y=2[x]$

Эта функция основана на операции взятия целой части числа, обозначаемой как $[x]$ (также известной как "антье" или "пол"). Функция $[x]$ возвращает наибольшее целое число, которое не превышает $x$. Например, $[3.7] = 3$, $[5] = 5$, $[-2.3] = -3$.

Функция $y=2[x]$ является кусочно-постоянной (ступенчатой). Её значение постоянно на каждом полуинтервале вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число.

Рассмотрим значения функции на нескольких таких промежутках:

• Если $x \in [0, 1)$, то $[x]=0$, и $y=2 \cdot 0 = 0$.
• Если $x \in [1, 2)$, то $[x]=1$, и $y=2 \cdot 1 = 2$.
• Если $x \in [2, 3)$, то $[x]=2$, и $y=2 \cdot 2 = 4$.
• Если $x \in [-1, 0)$, то $[x]=-1$, и $y=2 \cdot (-1) = -2$.
• Если $x \in [-2, -1)$, то $[x]=-2$, и $y=2 \cdot (-2) = -4$.

В общем виде, для любого целого $n$, если $x$ принадлежит полуинтервалу $[n, n+1)$, то значение функции $y$ постоянно и равно $2n$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков ("ступенек"). Для каждого целого числа $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ по оси $Ox$, график представляет собой отрезок прямой $y=2n$. Левый конец каждого отрезка, точка $(n, 2n)$, принадлежит графику (изображается закрашенной точкой), а правый конец, точка $(n+1, 2n)$, не принадлежит (изображается выколотой точкой).

2) $y=-\frac{1}{2}\{x\}$

Эта функция основана на операции взятия дробной части числа, обозначаемой как $\{x\}$. Дробная часть числа определяется формулой $\{x\} = x - [x]$. Например, $\{3.7\} = 0.7$, $\{5\} = 0$, $\{-2.3\} = -2.3 - (-3) = 0.7$.

Область значений функции $\{x\}$ — это полуинтервал $[0, 1)$. Функция $\{x\}$ является периодической с периодом 1.

Для функции $y=-\frac{1}{2}\{x\}$:

• Поскольку $0 \le \{x\} < 1$, умножая на $-\frac{1}{2}$, получаем $0 \ge -\frac{1}{2}\{x\} > -\frac{1}{2}$. Следовательно, область значений нашей функции — это полуинтервал $(-\frac{1}{2}, 0]$.
• Из-за периодичности $\{x\}$, функция $y=-\frac{1}{2}\{x\}$ также периодична с периодом 1. Достаточно построить её график на одном периоде, например, на $[0, 1)$, и затем повторить его вдоль всей оси $Ox$.
• На промежутке $x \in [0, 1)$, имеем $\{x\}=x$. Тогда функция принимает вид $y=-\frac{1}{2}x$. Это отрезок прямой, начинающийся в точке $(0, 0)$ (включительно) и заканчивающийся в точке $(1, -\frac{1}{2})$ (не включительно).

Ответ: График функции является периодическим с периодом 1. Он состоит из бесконечного набора одинаковых наклонных отрезков. На каждом полуинтервале $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 0)$ (включительно) и точку $(n+1, -\frac{1}{2})$ (не включительно).

3) $y=3 \operatorname{sgn} x$

Эта функция основана на функции "сигнум" (signum) или "знак числа", обозначаемой как $\operatorname{sgn} x$. Эта функция определяется следующим образом: $$ \operatorname{sgn} x = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $$

Чтобы получить график функции $y=3 \operatorname{sgn} x$, нужно умножить значения функции $\operatorname{sgn} x$ на 3:

• Если $x > 0$, то $y = 3 \cdot 1 = 3$.
• Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 = 0$.
• Если $x < 0$, то $y = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: График функции состоит из трёх частей:
1. Точка в начале координат $(0, 0)$.
2. Горизонтальный луч $y=3$ для всех положительных значений $x$ (то есть при $x \in (0, +\infty)$). Точка $(0, 3)$ не принадлежит графику и является выколотой.
3. Горизонтальный луч $y=-3$ для всех отрицательных значений $x$ (то есть при $x \in (-\infty, 0)$). Точка $(0, -3)$ не принадлежит графику и является выколотой.