Номер 4.20, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.20, страница 46.

Условие.

4.20. Упростите выражение $\sqrt{6 - \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}}$.

Решение.

Для упрощения данного выражения, начнем с внутреннего подкоренного выражения: $\sqrt{17-12\sqrt{2}}$.

Мы хотим представить выражение $17-12\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого нам нужно найти такие $a$ и $b$, что:

$a^2 + b^2 = 17$

$2ab = 12\sqrt{2}$

Из второго уравнения получаем $ab = 6\sqrt{2}$. Попробуем подобрать значения. Представим $12\sqrt{2}$ как $2 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2})$. Пусть $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$.

Проверим первое уравнение с этими значениями:

$a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$.

Условие выполняется. Следовательно, $17 - 12\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^2$.

Теперь мы можем упростить внутренний корень. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, то $3 > 2\sqrt{2}$, и разность $3 - 2\sqrt{2}$ положительна. Поэтому:

$\sqrt{17-12\sqrt{2}} = \sqrt{(3-2\sqrt{2})^2} = 3-2\sqrt{2}$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt{6-\sqrt{17-12\sqrt{2}}} = \sqrt{6-(3-2\sqrt{2})} = \sqrt{6-3+2\sqrt{2}} = \sqrt{3+2\sqrt{2}}$.

Теперь упростим выражение $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$. Снова попробуем представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, на этот раз квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$a^2 + b^2 = 3$

$2ab = 2\sqrt{2}$

Из второго уравнения $ab = \sqrt{2}$. Очевидные кандидаты — это $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.

Проверим первое уравнение:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

Условие выполняется. Значит, $3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$.

Таким образом, окончательное упрощение выглядит так:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

Ответ: $1+\sqrt{2}$.