Номер 4.17, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.17, страница 46.

Условие.

4.17. Постройте график функции:

1) $y = \left[-\frac{x}{2}\right]$;

2) $y = \{2x\}$.

Решение.

1) $y = [-\frac{x}{2}]$

Данная функция — это «целая часть» от выражения $-\frac{x}{2}$, обозначаемая как $[a]$ (или floor(a)). Функция «целая часть» возвращает наибольшее целое число, которое меньше или равно своему аргументу.

Значение функции $y$ является целым числом и изменяется скачкообразно, когда аргумент $-\frac{x}{2}$ пересекает целое значение. Пусть $y=k$, где $k$ — целое число.

По определению функции «целая часть», равенство $k = [-\frac{x}{2}]$ равносильно неравенству:

$k \le -\frac{x}{2} < k+1$

Чтобы найти, при каких значениях $x$ это выполняется, решим неравенство относительно $x$. Умножим все части на -2, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-2k \ge x > -2(k+1)$

Запишем в более привычном виде:

$-2(k+1) < x \le -2k$

Это означает, что функция $y$ принимает постоянное значение $k$ на полуинтервале $(-2k-2, -2k]$.

Рассмотрим несколько примеров для разных целых значений $k$:

• При $k=2$: $-2(2+1) < x \le -2(2) \Rightarrow -6 < x \le -4$. На этом интервале $y=2$.
• При $k=1$: $-2(1+1) < x \le -2(1) \Rightarrow -4 < x \le -2$. На этом интервале $y=1$.
• При $k=0$: $-2(0+1) < x \le -2(0) \Rightarrow -2 < x \le 0$. На этом интервале $y=0$.
• При $k=-1$: $-2(-1+1) < x \le -2(-1) \Rightarrow 0 < x \le 2$. На этом интервале $y=-1$.
• При $k=-2$: $-2(-2+1) < x \le -2(-2) \Rightarrow 2 < x \le 4$. На этом интервале $y=-2$.

График функции представляет собой «лесенку» из горизонтальных отрезков. Каждый отрезок имеет длину 2. Левая точка каждого отрезка не принадлежит графику (изображается выколотой точкой), а правая принадлежит (изображается закрашенной точкой). С увеличением $x$ значение $y$ уменьшается.

Ответ: Графиком функции является ступенчатая функция («лесенка»), состоящая из горизонтальных отрезков. Для любого целого $k$ на полуинтервале $(-2k-2, -2k]$ функция принимает постоянное значение $y=k$.

2) $y = \{2x\}$

Данная функция — это «дробная часть» от выражения $2x$, обозначаемая как $\{a\}$. Функция «дробная часть» определяется как $\{a\} = a - [a]$, где $[a]$ — целая часть числа $a$.

Область значений функции «дробная часть» — полуинтервал $[0, 1)$.

Функция $y=\{ax\}$ является периодической с периодом $T = \frac{1}{|a|}$. В нашем случае $a=2$, следовательно, период функции $T = \frac{1}{2}$.

Для построения графика достаточно рассмотреть поведение функции на одном периоде, например, на полуинтервале $[0, \frac{1}{2})$, а затем продолжить этот фрагмент на всю числовую ось.

Пусть $x \in [0, \frac{1}{2})$. Тогда $2x \in [0, 1)$, и в этом случае, целая часть $[2x]=0$. Следовательно, на этом интервале функция имеет вид:

$y = \{2x\} = 2x - [2x] = 2x - 0 = 2x$

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. На интервале $[0, \frac{1}{2})$ график представляет собой отрезок этой прямой, начинающийся в точке $(0, 0)$ и заканчивающийся в точке $(\frac{1}{2}, 1)$. При этом точка $(0, 0)$ принадлежит графику, а точка $(\frac{1}{2}, 1)$ — нет (она выколота).

Поскольку функция периодическая с периодом $\frac{1}{2}$, этот фрагмент графика будет повторяться на каждом полуинтервале вида $[\frac{n}{2}, \frac{n+1}{2})$, где $n$ — любое целое число.

В общем случае, на интервале $[\frac{n}{2}, \frac{n+1}{2})$ имеем $n \le 2x < n+1$, поэтому $[2x]=n$. Тогда $y = \{2x\} = 2x - n$. Это отрезок прямой с угловым коэффициентом 2, соединяющий точку $(\frac{n}{2}, 0)$ (включительно) и точку $(\frac{n+1}{2}, 1)$ (исключительно).

График имеет вид «пилы» с периодом $\frac{1}{2}$.

Ответ: Графиком функции является периодическая функция («пила») с периодом $T = 0.5$. На каждом полуинтервале $[\frac{n}{2}, \frac{n+1}{2})$ (где $n$ — целое число) график представляет собой отрезок прямой $y=2x-n$, начинающийся в точке $(\frac{n}{2}, 0)$ (включительно) и идущий до точки $(\frac{n+1}{2}, 1)$ (не включая ее).