Номер 4.10, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.10, страница 45.

Условие.

4.10. Докажите, что функция $y = ax^2$ при $a > 0$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Решение.

Для доказательства утверждения разобьем его на две части: доказательство убывания функции на промежутке $(-\infty; 0]$ и доказательство возрастания на промежутке $[0; +\infty)$.

Убывание на промежутке $(-\infty; 0]$

Функция называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим функцию $y(x) = ax^2$ при $a > 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ – две произвольные точки из промежутка $(-\infty; 0]$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 0$.

Сравним значения функции в этих точках. Для этого рассмотрим их разность:

$y(x_1) - y(x_2) = ax_1^2 - ax_2^2 = a(x_1^2 - x_2^2) = a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

Определим знак каждого из множителей в полученном выражении:

• $a > 0$ по условию задачи.
• Поскольку $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ будет отрицательной, т.е. $x_1 - x_2 < 0$.
• Поскольку $x_1 < x_2 \le 0$, оба числа являются неположительными, причём $x_1$ строго отрицательно. Следовательно, их сумма $(x_1 + x_2)$ также будет отрицательной, т.е. $x_1 + x_2 < 0$.

Теперь определим знак всего произведения:

$y(x_1) - y(x_2) = a \cdot (x_1 - x_2) \cdot (x_1 + x_2)$

Знак выражения определяется как произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.

Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, то функция $y = ax^2$ при $a > 0$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Доказано, что функция $y = ax^2$ при $a > 0$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Возрастание на промежутке $[0; +\infty)$

Функция называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Рассмотрим функцию $y(x) = ax^2$ при $a > 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ – две произвольные точки из промежутка $[0; +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $0 \le x_1 < x_2$.

Снова рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y(x_1) - y(x_2) = a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

Определим знак каждого из множителей:

• $a > 0$ по условию задачи.
• Поскольку $x_1 < x_2$, разность $x_1 - x_2 < 0$.
• Поскольку $0 \le x_1 < x_2$, оба числа являются неотрицательными, причём $x_2$ строго положительно. Следовательно, их сумма $x_1 + x_2 > 0$.

Определим знак всего произведения:

$y(x_1) - y(x_2) = a \cdot (x_1 - x_2) \cdot (x_1 + x_2)$

Знак выражения определяется как произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.

Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) < 0$, что равносильно $y(x_1) < y(x_2)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, то функция $y = ax^2$ при $a > 0$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Доказано, что функция $y = ax^2$ при $a > 0$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.