Номер 4.9, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.9, страница 45.

Условие.

4.9. Используя график функции $y = |x|$, постройте графики функций $y = \frac{1}{2}|x|$ и $y = -2|x|$.

Решение.

Для построения графиков функций $y = \frac{1}{2}|x|$ и $y = -2|x|$ воспользуемся преобразованиями графика базовой функции $y = |x|$. График функции $y = |x|$ — это "уголок", вершина которого находится в начале координат, а ветви являются биссектрисами I и II координатных четвертей.

Оба искомых графика получаются из графика $y = |x|$ преобразованием вида $y = kf(x)$, которое представляет собой растяжение или сжатие графика вдоль оси ординат $Oy$.

$y=\frac{1}{2}|x|$

В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < k < 1$, для построения графика функции $y = \frac{1}{2}|x|$ необходимо выполнить сжатие графика $y = |x|$ к оси абсцисс $Ox$ в $\frac{1}{k} = 2$ раза. Иначе говоря, ординату ($y$) каждой точки исходного графика нужно умножить на $\frac{1}{2}$, оставив абсциссу ($x$) без изменений.

Выберем несколько контрольных точек на графике $y = |x|$ и найдем их новые координаты:

• Точка $(0, 0)$ останется на месте: $(0, \frac{1}{2} \cdot 0) = (0, 0)$.
• Точка $(2, 2)$ перейдет в точку $(2, \frac{1}{2} \cdot 2) = (2, 1)$.
• Точка $(-2, 2)$ перейдет в точку $(-2, \frac{1}{2} \cdot 2) = (-2, 1)$.
• Точка $(4, 4)$ перейдет в точку $(4, \frac{1}{2} \cdot 4) = (4, 2)$.
• Точка $(-4, 4)$ перейдет в точку $(-4, \frac{1}{2} \cdot 4) = (-4, 2)$.

Соединив полученные точки, мы получим новый "уголок" с вершиной в начале координат, ветви которого будут более пологими (раскрыты шире), чем у графика $y = |x|$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}|x|$ получается из графика $y = |x|$ путем сжатия вдоль оси ординат в 2 раза.

$y=-2|x|$

В этом случае коэффициент $k = -2$. Преобразование можно разделить на два шага:

1. Растяжение графика $y = |x|$ вдоль оси ординат $Oy$ в $|k|=|-2|=2$ раза. Получаем промежуточный график $y = 2|x|$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс $Ox$, так как коэффициент $k$ отрицателен.

Можно выполнить преобразование и в один шаг: ординату ($y$) каждой точки графика $y = |x|$ нужно умножить на $-2$, оставив абсциссу ($x$) без изменений.

Выберем несколько контрольных точек на графике $y = |x|$ и найдем их новые координаты:

• Точка $(0, 0)$ останется на месте: $(0, -2 \cdot 0) = (0, 0)$.
• Точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, -2 \cdot 1) = (1, -2)$.
• Точка $(-1, 1)$ перейдет в точку $(-1, -2 \cdot 1) = (-1, -2)$.
• Точка $(2, 2)$ перейдет в точку $(2, -2 \cdot 2) = (2, -4)$.
• Точка $(-2, 2)$ перейдет в точку $(-2, -2 \cdot 2) = (-2, -4)$.

Соединив новые точки, мы получим "уголок" с вершиной в начале координат, ветви которого направлены вниз и являются более крутыми (сжаты к оси $Oy$), чем у графика $y = |x|$.

Ответ: График функции $y = -2|x|$ получается из графика $y = |x|$ путем растяжения вдоль оси ординат в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси абсцисс.