Номер 4.2, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.2, страница 43.

Условие.

4.2. На рисунке 4.12 изображён график функции $y = g(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3}g(x)$;

2) $y = -\frac{1}{2}g(x)$.

Рис. 4.12

Решение.

1) $y = \frac{1}{3}g(x)$

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{3}g(x)$, нужно выполнить преобразование исходного графика $y = g(x)$. Это преобразование является вертикальным сжатием графика к оси абсцисс (оси ОХ) с коэффициентом $\frac{1}{3}$.
Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y=g(x)$ соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, \frac{1}{3}y_0)$. Это означает, что абсцисса (координата $x$) каждой точки остается прежней, а ордината (координата $y$) умножается на $\frac{1}{3}$.
Определим координаты ключевых точек нового графика:
- Точки пересечения с осью OX, где $g(x) = 0$: $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$. Поскольку $y = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$, эти точки остаются на своих местах.
- Точки локальных максимумов исходного графика: $(-2, 3)$ и $(2, 3)$. Их новые координаты будут $(-2, \frac{1}{3} \cdot 3) = (-2, 1)$ и $(2, \frac{1}{3} \cdot 3) = (2, 1)$.
- Точка локального минимума исходного графика: $(0, -3)$. Ее новые координаты будут $(0, \frac{1}{3} \cdot (-3)) = (0, -1)$.
Соединив полученные точки плавной кривой, мы получим график функции $y = \frac{1}{3}g(x)$, который будет "сжат" по вертикали в 3 раза по сравнению с исходным.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}g(x)$ получается из графика $y = g(x)$ путем сжатия вдоль оси OY в 3 раза. Ключевые точки нового графика: нули функции $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$; локальные максимумы $(-2, 1)$ и $(2, 1)$; локальный минимум $(0, -1)$.

2) $y = -\frac{1}{2}g(x)$

Чтобы построить график функции $y = -\frac{1}{2}g(x)$, нужно выполнить два преобразования над графиком $y = g(x)$: вертикальное сжатие и отражение относительно оси абсцисс.
Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y=g(x)$ соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -\frac{1}{2}y_0)$. Абсцисса каждой точки остается прежней, а ордината умножается на коэффициент $-\frac{1}{2}$.
Это преобразование можно выполнить в два шага:
1. Вертикальное сжатие графика к оси ОХ в 2 раза (умножение ординат на $\frac{1}{2}$).
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси ОХ (из-за отрицательного знака).
Определим координаты ключевых точек нового графика:
- Точки пересечения с осью OX: $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$. Они останутся на месте, так как их новая ордината будет $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.
- Точки локальных максимумов исходного графика: $(-2, 3)$ и $(2, 3)$. После преобразования они станут точками локальных минимумов с новыми координатами: $(-2, -\frac{1}{2} \cdot 3) = (-2, -1.5)$ и $(2, -\frac{1}{2} \cdot 3) = (2, -1.5)$.
- Точка локального минимума исходного графика: $(0, -3)$. После преобразования она станет точкой локального максимума с новыми координатами: $(0, -\frac{1}{2} \cdot (-3)) = (0, 1.5)$.
Соединив полученные точки плавной кривой, мы получим график, который сжат по вертикали в 2 раза и отражен относительно оси ОХ.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}g(x)$ получается из графика $y = g(x)$ путем сжатия вдоль оси OY в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси OX. Ключевые точки нового графика: нули функции $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$; локальные минимумы $(-2, -1.5)$ и $(2, -1.5)$; локальный максимум $(0, 1.5)$.