Номер 4.7, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.7, страница 45.

Условие.

4.7. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте графики функций $y=4\sqrt{x}$ и $y = \sqrt{\frac{x}{3}}$.

Решение.

Для построения графиков функций $y=4\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{\frac{x}{3}}$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Сначала определим несколько ключевых точек для графика функции $y=\sqrt{x}$:

• При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка $(4, 2)$.
• При $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка $(9, 3)$.

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y=\sqrt{x}$, который является верхней ветвью параболы, симметричной относительно оси $Ox$.

$y=4\sqrt{x}$

График функции $y=4\sqrt{x}$ можно получить из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем преобразования вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и коэффициент $k=4$.

Поскольку $k > 1$, данное преобразование представляет собой растяжение графика исходной функции вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 4 раза. Это означает, что для построения нового графика нужно каждую ординату ($y$) точек графика $y=\sqrt{x}$ умножить на 4, оставив абсциссу ($x$) без изменений.

Возьмем ключевые точки графика $y=\sqrt{x}$ и найдем соответствующие им точки для графика $y=4\sqrt{x}$:

• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0, 4 \cdot 0) = (0, 0)$.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 4 \cdot 1) = (1, 4)$.
• Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4, 4 \cdot 2) = (4, 8)$.
• Точка $(9, 3)$ переходит в точку $(9, 4 \cdot 3) = (9, 12)$.

Чтобы построить график функции $y=4\sqrt{x}$, нужно отметить эти новые точки на координатной плоскости и соединить их плавной кривой. Новый график также начнется в точке $(0, 0)$, но будет подниматься вверх значительно круче, чем график $y=\sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y=4\sqrt{x}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 4 раза.

$y=\sqrt{\frac{x}{3}}$

График функции $y=\sqrt{\frac{x}{3}}$ также можно получить из графика функции $y=\sqrt{x}$. Это преобразование можно представить в виде $y=f(k \cdot x)$, где $f(x)=\sqrt{x}$.

Запишем функцию как $y=\sqrt{\frac{1}{3}x}$. В данном случае коэффициент $k=\frac{1}{3}$.

Поскольку $0 < k < 1$, это преобразование является растяжением графика исходной функции вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в $\frac{1}{k} = \frac{1}{1/3} = 3$ раза. Это означает, что для построения нового графика нужно каждую абсциссу ($x$) точек графика $y=\sqrt{x}$ умножить на 3, оставив ординату ($y$) без изменений.

Возьмем ключевые точки графика $y=\sqrt{x}$ и найдем соответствующие им точки для графика $y=\sqrt{\frac{x}{3}}$:

• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(3 \cdot 0, 0) = (0, 0)$.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(3 \cdot 1, 1) = (3, 1)$.
• Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(3 \cdot 4, 2) = (12, 2)$.
• Точка $(9, 3)$ переходит в точку $(3 \cdot 9, 3) = (27, 3)$.

Чтобы построить график функции $y=\sqrt{\frac{x}{3}}$, нужно отметить эти новые точки и соединить их плавной кривой. График будет начинаться в точке $(0, 0)$ и будет более пологим, чем график $y=\sqrt{x}$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{\frac{x}{3}}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси $Ox$ в 3 раза.