Номер 4.12, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.12, страница 45.

Условие.

4.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -2x^2$ на множестве $M$, если:

1) $M = [-3; -2];$

2) $M = [-2; 1];$

3) $M = (-3; 1];$

4) $M = [1; 3).$

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -2x^2$ на заданных множествах $M$ проанализируем её свойства. График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Это означает, что наибольшее значение функции на всей числовой оси равно $0$ и достигается при $x=0$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$.

1) $M = [-3; -2]$
Заданный отрезок $[-3; -2]$ целиком находится на промежутке возрастания функции $(-\infty, 0]$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y_{наим} = y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 = -2 \cdot 9 = -18$.
$y_{наиб} = y(-2) = -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$.
Ответ: наименьшее значение $-18$, наибольшее значение $-8$.

2) $M = [-2; 1]$
Заданный отрезок $[-2; 1]$ содержит точку максимума функции $x=0$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения.
$y_{наиб} = y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0$.
Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в этих точках:
$y(-2) = -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$.
$y(1) = -2 \cdot 1^2 = -2$.
Сравнивая значения $-8$ и $-2$, находим, что наименьшее значение равно $-8$.
Ответ: наименьшее значение $-8$, наибольшее значение $0$.

3) $M = (-3; 1]$
Заданный полуинтервал $(-3; 1]$ содержит точку максимума функции $x=0$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом множестве достигается в этой точке.
$y_{наиб} = y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0$.
Для нахождения наименьшего значения рассмотрим поведение функции на границах множества. В точке $x=1$ значение функции $y(1)=-2$. Точка $x=-3$ не входит в множество, поэтому мы рассматриваем предел функции при $x$, стремящемся к $-3$.
$\lim_{x \to -3^+} y(x) = -2(-3)^2 = -18$.
Так как $x$ может быть сколь угодно близко к $-3$, но не равен ему, значение функции может быть сколь угодно близко к $-18$, но никогда его не достигает. Следовательно, наименьшего значения на данном множестве не существует.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшего значения не существует.

4) $M = [1; 3)$
Заданный полуинтервал $[1; 3)$ целиком находится на промежутке убывания функции $[0, \infty)$. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце множества, в точке $x=1$.
$y_{наиб} = y(1) = -2 \cdot 1^2 = -2$.
Правый конец $x=3$ не принадлежит множеству. Рассмотрим предел функции при $x$, стремящемся к $3$.
$\lim_{x \to 3^-} y(x) = -2(3)^2 = -18$.
Так как $x$ может быть сколь угодно близко к $3$, но не равен ему, значение функции может быть сколь угодно близко к $-18$, но никогда его не достигает. Следовательно, наименьшего значения на данном множестве не существует.
Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшего значения не существует.