Номер 4.13, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.13, страница 45.

Условие.

4.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \frac{1}{2} x^2$ на множестве M, если:

1) $M = [2; 4];$

2) $M = [-2; 4];$

3) $M = [-2; 4];$

4) $M = (-4; -2).$

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{1}{2}x^2$ на заданных множествах $M$ проанализируем поведение этой функции.

График функции $y = \frac{1}{2}x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Это точка глобального минимума функции.

• При $x < 0$ функция убывает.
• При $x > 0$ функция возрастает.
• Наименьшее значение функции $y=0$ достигается при $x=0$.

1) M = [2; 4];
На этом отрезке $x > 0$, следовательно, функция $y = \frac{1}{2}x^2$ монотонно возрастает. Наименьшее значение будет достигаться в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение 8.

2) M = [-2; 4];
Этот отрезок включает в себя вершину параболы $x=0$. Так как вершина является точкой минимума, наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению в этой точке.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$.
Наибольшее значение достигается на том конце отрезка, который наиболее удален от вершины (то есть имеет больший модуль). Сравним $|-2| = 2$ и $|4| = 4$. Так как $4 > 2$, наибольшее значение будет при $x=4$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 8.

3) M = [-2; 4];
Данное множество полностью совпадает с множеством из пункта 2, поэтому решение и ответ будут такими же.
Отрезок $[-2; 4]$ содержит точку минимума функции $x=0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0$.
Наибольшее значение достигается на наиболее удаленном от нуля конце отрезка, то есть в точке $x=4$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = 8$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 8.

4) M = (-4; -2);
На этом интервале $x < 0$, следовательно, функция $y = \frac{1}{2}x^2$ монотонно убывает. Так как концы интервала не включены (интервал открытый), функция стремится к своим предельным значениям на концах, но никогда их не достигает.
При $x \to -4$, $y \to \frac{1}{2}(-4)^2 = 8$.
При $x \to -2$, $y \to \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$.
Значения функции на этом интервале лежат в пределах $(2, 8)$. Таким образом, ни наименьшего, ни наибольшего значения на данном множестве функция не имеет, так как она не достигает своих границ.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.