Номер 4.16, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 4. Построение графиков функций y = kf(x), y = f(kx) - номер 4.16, страница 46.

Условие.

4.16. Постройте график функции:

1) $y = [2x];$

2) $y = \{ -\frac{x}{2} \}.$

Решение.

1) $y = [2x]$

Функция $y=[a]$ называется «целая часть числа $a$» или «антье». Она возвращает наибольшее целое число, не превосходящее $a$. Значения функции $y=[2x]$ всегда являются целыми числами.

Пусть $[2x] = n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

По определению целой части, это равенство равносильно следующему неравенству:

$n \le 2x < n + 1$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{n}{2} \le x < \frac{n+1}{2}$

Это означает, что для всех значений $x$ из промежутка $[\frac{n}{2}, \frac{n+1}{2})$ функция $y$ принимает постоянное значение, равное $n$. Длина каждого такого промежутка составляет $\frac{n+1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим несколько примеров для разных целых $n$:

• При $n=0$: если $0 \le x < \frac{1}{2}$, то $y=0$.
• При $n=1$: если $\frac{1}{2} \le x < 1$, то $y=1$.
• При $n=2$: если $1 \le x < \frac{3}{2}$, то $y=2$.
• При $n=-1$: если $-\frac{1}{2} \le x < 0$, то $y=-1$.
• При $n=-2$: если $-1 \le x < -\frac{1}{2}$, то $y=-2$.

График функции представляет собой «лесенку» — совокупность горизонтальных отрезков. Каждый отрезок имеет длину $\frac{1}{2}$. Левый конец каждого отрезка (точка с координатами $(\frac{n}{2}, n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка с координатами $(\frac{n+1}{2}, n)$) — не принадлежит.

Ответ: График функции $y=[2x]$ — это ступенчатая функция. Он состоит из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$, на полуинтервале $[\frac{n}{2}, \frac{n+1}{2})$ график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=n$. Левая граница отрезка включается в график, а правая — нет.

2) $y = \{-\frac{x}{2}\}$

Функция $y=\{a\}$ называется «дробная часть числа $a$». Она определяется как $\{a\} = a - [a]$, где $[a]$ — целая часть числа $a$. По определению, для любого $a$ выполняется неравенство $0 \le \{a\} < 1$. Таким образом, область значений нашей функции — промежуток $[0, 1)$.

Исследуем функцию на периодичность. Функция $\{z\}$ является периодической с периодом 1. Найдём период $T > 0$ для функции $y(x) = \{-\frac{x}{2}\}$:

$y(x+T) = \{-\frac{x+T}{2}\} = \{-\frac{x}{2} - \frac{T}{2}\}$

Для того чтобы $y(x+T) = y(x)$, необходимо, чтобы сдвиг $\frac{T}{2}$ был равен целому числу, так как период функции $\{z\}$ равен 1. Пусть $-\frac{T}{2} = k$, где $k$ — целое число, не равное нулю.

$T = -2k$. Так как $T>0$, $k$ должно быть отрицательным целым числом. Возьмем $k=-1$, тогда наименьший положительный период $T=2$.

Итак, функция периодическая с периодом $T=2$. Построим её график на одном периоде, например, на полуинтервале $(0, 2]$, а затем продолжим его на всю числовую ось.

Рассмотрим промежуток $x \in (0, 2]$.

На этом промежутке выражение $-\frac{x}{2}$ принимает значения из $[-1, 0)$.

Тогда целая часть этого выражения $[-\frac{x}{2}]$ равна $-1$.

Следовательно, на интервале $(0, 2]$ имеем:

$y = \{-\frac{x}{2}\} = -\frac{x}{2} - [-\frac{x}{2}] = -\frac{x}{2} - (-1) = 1 - \frac{x}{2}$

Таким образом, на промежутке $(0, 2]$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 1 - \frac{x}{2}$.

• При $x$, стремящемся к $0$ справа, $y$ стремится к $1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику (является выколотой).
• При $x = 2$, $y = 1 - \frac{2}{2} = 0$. Точка $(2, 0)$ принадлежит графику.

Так как функция периодическая с периодом 2, этот же фрагмент графика будет повторяться на всех промежутках вида $(2k, 2k+2]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В общем виде, на каждом интервале $(2k, 2k+2]$ график функции представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(2k, 1)$ (выколотая) с точкой $(2k+2, 0)$ (невыколотая). Это наклонные отрезки с угловым коэффициентом $-\frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y=\{-\frac{x}{2}\}$ — это периодическая функция с периодом 2, известная как «пилообразная волна». Он состоит из повторяющихся наклонных отрезков. На каждом промежутке вида $(2k, 2k+2]$, где $k$ — целое число, график представляет собой отрезок прямой, идущий от точки $(2k, 1)$ до точки $(2k+2, 0)$. Начальная точка отрезка выколота, а конечная — закрашена.