Вопросы?, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - страница 56.

Условие.

1. Как можно получить график функции $y = f(x) + b$, используя график функции $y = f(x)$?

2. Какая фигура является графиком функции $y = x^2 + b$?

3. Каковы координаты вершины параболы $y = x^2 + b$?

4. Как можно получить график функции $y = f(x + a)$, используя график функции $y = f(x)$?

5. Какая фигура является графиком функции $y = (x + a)^2$?

6. Каковы координаты вершины параболы $y = (x + a)^2$?

7. Какая фигура является графиком функции $y = k(x + a)^2 + b$, где $k \ne 0$?

Решение.

1. Как можно получить график функции y = f(x) + b, используя график функции y = f(x)?

График функции $y = f(x) + b$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси OY). Если значение $b$ положительное ($b > 0$), то сдвиг происходит на $b$ единиц вверх. Если значение $b$ отрицательное ($b < 0$), то сдвиг происходит на $|b|$ единиц вниз.
Ответ: Параллельным переносом графика функции $y = f(x)$ на $b$ единиц вдоль оси OY.

2. Какая фигура является графиком функции y = x² + b?

Графиком функции $y = x^2$ является парабола. Функция $y = x^2 + b$ получается из нее сдвигом вдоль оси OY, что не меняет форму фигуры.
Ответ: Парабола.

3. Каковы координаты вершины параболы y = x² + b?

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. При сдвиге графика на $b$ единиц вдоль оси OY, абсцисса вершины не изменяется, а ордината увеличивается на $b$. Таким образом, новая вершина будет иметь координаты $(0, b)$.
Ответ: $(0, b)$.

4. Как можно получить график функции y = f(x + a), используя график функции y = f(x)?

График функции $y = f(x + a)$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси OX). Если значение $a$ положительное ($a > 0$), то сдвиг происходит на $a$ единиц влево. Если значение $a$ отрицательное ($a < 0$), то сдвиг происходит на $|a|$ единиц вправо.
Ответ: Параллельным переносом графика функции $y = f(x)$ на $a$ единиц вдоль оси OX (влево при $a > 0$, вправо при $a < 0$).

5. Какая фигура является графиком функции y = (x + a)²?

Графиком функции $y = x^2$ является парабола. Функция $y = (x + a)^2$ получается из нее сдвигом вдоль оси OX, что не меняет форму фигуры.
Ответ: Парабола.

6. Каковы координаты вершины параболы y = (x + a)²?

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. При сдвиге графика по горизонтали, ордината вершины не изменяется (остается 0). Новая абсцисса вершины находится из условия, что выражение в скобках равно нулю: $x + a = 0$, откуда $x = -a$. Таким образом, новая вершина будет иметь координаты $(-a, 0)$.
Ответ: $(-a, 0)$.

7. Какая фигура является графиком функции y = k(x + a)² + b, где k ≠ 0?

Это общая форма записи квадратичной функции. Ее график получается из графика базовой параболы $y = x^2$ путем сдвигов по горизонтали и вертикали, а также растяжения/сжатия и/или отражения вдоль оси OY (за что отвечает коэффициент $k$). Все эти преобразования сохраняют основной вид фигуры.
Ответ: Парабола.