Номер 5.7, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.7, страница 57.

Условие.

5.7. Постройте график функции $y = x^2$.

Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 3;$

2) $y = x^2 + 4;$

3) $y = (x - 5)^2;$

4) $y = (x + 2)^2;$

5) $y = (x - 1)^2 + 2;$

6) $y = (x + 3)^2 - 2.$

Решение.

Для построения графиков заданных функций воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y=x^2$.

График функции $y=x^2$ — это парабола, вершина которой находится в начале координат (в точке $(0, 0)$), а ветви направлены вверх. Осью симметрии параболы является ось Oy.

Все последующие графики можно получить путем параллельного переноса (сдвига) графика функции $y=x^2$ вдоль координатных осей.

Общее правило для преобразований графика функции $y=f(x)$:

• График функции $y=f(x)+b$ получается сдвигом графика $y=f(x)$ на $b$ единиц вверх вдоль оси Oy, если $b > 0$, и на $|b|$ единиц вниз, если $b < 0$.
• График функции $y=f(x+a)$ получается сдвигом графика $y=f(x)$ на $|a|$ единиц влево вдоль оси Ox, если $a > 0$, и на $a$ единиц вправо, если $a < 0$. Это можно записать и так: для функции $y=f(x-a)$ сдвиг происходит на $a$ единиц вправо при $a > 0$ и на $|a|$ влево при $a < 0$.

Применим эти правила для каждого случая.

1) $y = x^2 - 3$

Данный график получается из графика $y = x^2$ путем сдвига вниз вдоль оси Oy на 3 единицы. Это преобразование вида $y=f(x)-3$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 3$ получается из графика функции $y=x^2$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

2) $y = x^2 + 4$

Данный график получается из графика $y = x^2$ путем сдвига вверх вдоль оси Oy на 4 единицы. Это преобразование вида $y=f(x)+4$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4$ получается из графика функции $y=x^2$ путем параллельного переноса на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

3) $y = (x - 5)^2$

Данный график получается из графика $y = x^2$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на 5 единиц. Это преобразование вида $y=f(x-5)$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(5, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 5)^2$ получается из графика функции $y=x^2$ путем параллельного переноса на 5 единиц вправо вдоль оси Ox.

4) $y = (x + 2)^2$

Данный график получается из графика $y = x^2$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на 2 единицы. Это преобразование вида $y=f(x+2)$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^2$ получается из графика функции $y=x^2$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

5) $y = (x - 1)^2 + 2$

Здесь выполняется два преобразования: сдвиг вправо на 1 единицу и сдвиг вверх на 2 единицы. Вершина параболы $y = x^2$ из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^2 + 2$ получается из графика функции $y=x^2$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

6) $y = (x + 3)^2 - 2$

Здесь также выполняется два преобразования: сдвиг влево на 3 единицы и сдвиг вниз на 2 единицы. Вершина параболы $y = x^2$ из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(-3, -2)$.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^2 - 2$ получается из графика функции $y=x^2$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.