Номер 5.14, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.14, страница 58.

Условие.

5.14. Задайте формулой вида $y = a(x + m)^2 + n$ функцию, график которой изображён на рисунке 5.22.

а

б

в

Рис. 5.22

Решение.

Чтобы задать функцию формулой вида $y = a(x + m)^2 + n$, необходимо найти параметры $a$, $m$ и $n$. Эта формула представляет собой уравнение параболы в вершинной форме, где точка с координатами $(-m; n)$ является вершиной параболы.

а)

1. Определим координаты вершины параболы по графику. Вершина находится в точке $(-2; -4)$.
2. Исходя из координат вершины, находим значения $m$ и $n$:
Координата $x$ вершины: $-m = -2$, откуда $m = 2$.
Координата $y$ вершины: $n = -4$.
3. Подставляем найденные $m$ и $n$ в общую формулу, получая промежуточный вид уравнения: $y = a(x + 2)^2 - 4$.
4. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике любую удобную точку, через которую проходит парабола. Например, точка $(0; 0)$.
5. Подставим координаты этой точки в уравнение и решим его относительно $a$:
$0 = a(0 + 2)^2 - 4$
$0 = a \cdot 4 - 4$
$4a = 4$
$a = 1$
6. Итоговая формула функции: $y = (x + 2)^2 - 4$.

Ответ: $y = (x + 2)^2 - 4$.

б)

1. Определим координаты вершины параболы по графику. Вершина находится в точке $(2; 5)$.
2. Находим значения $m$ и $n$:
Координата $x$ вершины: $-m = 2$, откуда $m = -2$.
Координата $y$ вершины: $n = 5$.
3. Уравнение принимает вид: $y = a(x - 2)^2 + 5$.
4. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике другую точку, например, $(0; 1)$.
5. Подставим координаты этой точки в уравнение:
$1 = a(0 - 2)^2 + 5$
$1 = a \cdot 4 + 5$
$4a = 1 - 5$
$4a = -4$
$a = -1$
6. Итоговая формула функции: $y = -(x - 2)^2 + 5$.

Ответ: $y = -(x - 2)^2 + 5$.

в)

1. Определим координаты вершины параболы по графику. Вершина находится в точке $(3; 1)$.
2. Находим значения $m$ и $n$:
Координата $x$ вершины: $-m = 3$, откуда $m = -3$.
Координата $y$ вершины: $n = 1$.
3. Уравнение принимает вид: $y = a(x - 3)^2 + 1$.
4. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(1; 2)$.
5. Подставим координаты этой точки в уравнение:
$2 = a(1 - 3)^2 + 1$
$2 = a \cdot (-2)^2 + 1$
$2 = 4a + 1$
$4a = 2 - 1$
$4a = 1$
$a = \frac{1}{4}$
6. Итоговая формула функции: $y = \frac{1}{4}(x - 3)^2 + 1$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}(x - 3)^2 + 1$.