Номер 5.19, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.19, страница 59.

Условие.

5.19. Постройте график функции $y = |x|$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = |x - 1| - 3$;

2) $y = 2 - |x + 4|$;

3) $y = 2 - 3|x + 1|$.

Решение.

Для построения графиков заданных функций будем использовать последовательные геометрические преобразования графика базовой функции $y = |x|$.

График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат. Для $x \ge 0$ это луч $y = x$, а для $x < 0$ — это луч $y = -x$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

1) y = |x − 1| − 3;

График функции $y = |x - 1| - 3$ можно получить из графика $y = |x|$ с помощью двух преобразований:

1. Сдвиг графика $y = |x|$ на 1 единицу вправо по оси абсцисс. Получим график функции $y = |x - 1|$. Вершина этого графика будет в точке $(1, 0)$.
2. Сдвиг полученного графика $y = |x - 1|$ на 3 единицы вниз по оси ординат. Получим искомый график $y = |x - 1| - 3$.

В результате этих преобразований вершина графика сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, -3)$. Ветви графика будут направлены вверх.

Для более точного построения найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy (при $x=0$): $y = |0 - 1| - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка пересечения $(0, -2)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $0 = |x - 1| - 3 \Rightarrow |x - 1| = 3$. Это уравнение распадается на два: $x - 1 = 3$ или $x - 1 = -3$. Решения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: График функции $y = |x - 1| - 3$ — это график функции $y = |x|$, смещенный на 1 единицу вправо и на 3 единицы вниз. Вершина графика находится в точке $(1, -3)$, ветви направлены вверх.

2) y = 2 − |x + 4|;

Перепишем функцию в виде $y = -|x + 4| + 2$. График этой функции можно получить из графика $y = |x|$ с помощью трех преобразований:

1. Сдвиг графика $y = |x|$ на 4 единицы влево по оси абсцисс. Получим график функции $y = |x + 4|$. Вершина этого графика будет в точке $(-4, 0)$.
2. Симметричное отражение графика $y = |x + 4|$ относительно оси абсцисс. Получим график $y = -|x + 4|$. Ветви графика теперь будут направлены вниз.
3. Сдвиг полученного графика $y = -|x + 4|$ на 2 единицы вверх по оси ординат. Получим искомый график $y = -|x + 4| + 2$.

В результате этих преобразований вершина графика сместится в точку $(-4, 2)$. Ветви графика будут направлены вниз.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy (при $x=0$): $y = 2 - |0 + 4| = 2 - 4 = -2$. Точка пересечения $(0, -2)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $0 = 2 - |x + 4| \Rightarrow |x + 4| = 2$. Это уравнение распадается на два: $x + 4 = 2$ или $x + 4 = -2$. Решения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -6$. Точки пересечения $(-6, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 - |x + 4|$ — это график функции $y = |x|$, смещенный на 4 единицы влево, отраженный относительно оси Ox и смещенный на 2 единицы вверх. Вершина графика находится в точке $(-4, 2)$, ветви направлены вниз.

3) y = 2 − 3|x + 1|;

Перепишем функцию в виде $y = -3|x + 1| + 2$. График этой функции можно получить из графика $y = |x|$ с помощью четырех преобразований:

1. Сдвиг графика $y = |x|$ на 1 единицу влево по оси абсцисс. Получим график функции $y = |x + 1|$. Вершина в точке $(-1, 0)$.
2. Растяжение графика $y = |x + 1|$ от оси абсцисс в 3 раза (умножение всех ординат на 3). Получим график $y = 3|x + 1|$. График станет "уже".
3. Симметричное отражение графика $y = 3|x + 1|$ относительно оси абсцисс. Получим график $y = -3|x + 1|$. Ветви теперь направлены вниз.
4. Сдвиг полученного графика $y = -3|x + 1|$ на 2 единицы вверх по оси ординат. Получим искомый график $y = -3|x + 1| + 2$.

В результате этих преобразований вершина графика сместится в точку $(-1, 2)$. Ветви графика будут направлены вниз и будут расположены "круче", чем у $y=|x|$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy (при $x=0$): $y = 2 - 3|0 + 1| = 2 - 3 \cdot 1 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $0 = 2 - 3|x + 1| \Rightarrow 3|x + 1| = 2 \Rightarrow |x + 1| = \frac{2}{3}$. Это уравнение распадается на два: $x + 1 = \frac{2}{3}$ или $x + 1 = -\frac{2}{3}$. Решения: $x_1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$. Точки пересечения $(-\frac{5}{3}, 0)$ и $(-\frac{1}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 - 3|x + 1|$ — это график функции $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево, растянутый вдоль оси Oy в 3 раза, отраженный относительно оси Ox и смещенный на 2 единицы вверх. Вершина графика находится в точке $(-1, 2)$, ветви направлены вниз.