Номер 5.23, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.23, страница 60.

Условие.

5.23. Задайте данную функцию формулой вида $y = \frac{k}{x+a} + b$ и постройте её график, используя график функции $y = \frac{k}{x}$:

1) $y = \frac{4x+14}{x+1}$;

2) $y = \frac{7-x}{x-2}$;

3) $y = \frac{3x-2}{x+1}$.

Решение.

1) Исходная функция: $y = \frac{4x + 14}{x + 1}$.

Чтобы привести функцию к виду $y = \frac{k}{x+a} + b$, выделим целую часть из дроби. Для этого преобразуем числитель, представив его через выражение в знаменателе:

$4x + 14 = 4x + 4 + 10 = 4(x + 1) + 10$

Теперь подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{4(x + 1) + 10}{x + 1} = \frac{4(x + 1)}{x + 1} + \frac{10}{x + 1} = 4 + \frac{10}{x + 1}$

Таким образом, искомая формула: $y = \frac{10}{x + 1} + 4$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \frac{10}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика нужно выполнить параллельный перенос графика $y = \frac{10}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Новые асимптоты графика: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 4$.

Ответ: $y = \frac{10}{x + 1} + 4$. График функции – это гипербола $y = \frac{10}{x}$, смещенная на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх.

2) Исходная функция: $y = \frac{7 - x}{x - 2}$.

Перепишем функцию для удобства: $y = \frac{-x + 7}{x - 2}$. Выделим целую часть из дроби, преобразовав числитель:

$-x + 7 = -x + 2 + 5 = -(x - 2) + 5$

Подставим преобразованный числитель в функцию:

$y = \frac{-(x - 2) + 5}{x - 2} = \frac{-(x - 2)}{x - 2} + \frac{5}{x - 2} = -1 + \frac{5}{x - 2}$

Таким образом, искомая формула: $y = \frac{5}{x - 2} - 1$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \frac{5}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика нужно выполнить параллельный перенос графика $y = \frac{5}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Новые асимптоты графика: вертикальная $x = 2$ и горизонтальная $y = -1$.

Ответ: $y = \frac{5}{x - 2} - 1$. График функции – это гипербола $y = \frac{5}{x}$, смещенная на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

3) Исходная функция: $y = \frac{3x - 2}{x + 1}$.

Выделим целую часть из дроби, преобразовав числитель:

$3x - 2 = 3x + 3 - 5 = 3(x + 1) - 5$

Подставим преобразованный числитель в функцию:

$y = \frac{3(x + 1) - 5}{x + 1} = \frac{3(x + 1)}{x + 1} + \frac{-5}{x + 1} = 3 - \frac{5}{x + 1}$

Таким образом, искомая формула: $y = \frac{-5}{x + 1} + 3$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \frac{-5}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях (так как $k = -5 < 0$). Для построения графика нужно выполнить параллельный перенос графика $y = \frac{-5}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Новые асимптоты графика: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 3$.

Ответ: $y = \frac{-5}{x + 1} + 3$. График функции – это гипербола $y = \frac{-5}{x}$, смещенная на 1 единицу влево и на 3 единицы вверх.