Номер 5.17, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.17, страница 59.

Условие.

5.17. Решите графически уравнение $\frac{3}{x} = \sqrt{x} + 2.$

Решение.

Чтобы решить уравнение $\frac{3}{x} = \sqrt{x} + 2$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{3}{x}$ и $y = \sqrt{x} + 2$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Область определения функции: $x \neq 0$.

2. График функции $y = \sqrt{x} + 2$ — это график стандартной функции $y=\sqrt{x}$ (ветвь параболы), смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Область определения этой функции: $x \ge 0$.

Поскольку для уравнения должно одновременно выполняться условие $x \ge 0$ (из-за наличия квадратного корня) и $x \neq 0$ (из-за деления на $x$), то мы ищем решение при $x > 0$. Это означает, что точка пересечения будет находиться в первой координатной четверти.

Построим графики по точкам.
Для $y = \frac{3}{x}$ возьмем точки: $(0.5; 6)$, $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(6; 0.5)$.
Для $y = \sqrt{x} + 2$ возьмем точки: $(0; 2)$, $(1; 3)$, $(4; 4)$, $(9; 5)$.

Построив графики в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из таблиц значений и по графику видно, что координаты этой точки — $(1; 3)$.

Абсцисса точки пересечения $x=1$ является решением уравнения. Выполним проверку, подставив $x=1$ в исходное уравнение:

$\frac{3}{1} = \sqrt{1} + 2$

$3 = 1 + 2$

$3 = 3$

Равенство верное, следовательно, $x=1$ — корень уравнения.

На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y = \frac{3}{x}$ является строго убывающей, а функция $y = \sqrt{x} + 2$ — строго возрастающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Так как мы нашли одну точку пересечения, других решений у уравнения нет.

Ответ: $1$.