Номер 5.20, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.20, страница 59.

Условие.

5.20. Задайте данную функцию формулой вида $y = a(x - m)^2 + n$ и постройте её график, используя график функции $y = ax^2$:

1) $y = x^2 - 4x + 6$; 3) $y = 2x^2 - 4x + 5$;

2) $y = -x^2 + 6x - 6$; 4) $y = 0,2x^2 - 2x - 4$.

Решение.

1)

Дана функция $y = x^2 - 4x + 6$.

Чтобы задать эту функцию формулой вида $y = a(x - m)^2 + n$, необходимо выделить полный квадрат. В данном случае коэффициент $a = 1$.

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 6$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 6$

$y = (x - 2)^2 + 2$

Это и есть требуемый вид, где $a=1$, $m=2$, $n=2$.

График этой функции является параболой, которую можно получить из графика функции $y = x^2$ путем его смещения (параллельного переноса) на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(2, 2)$.

Ответ: $y = (x - 2)^2 + 2$.

2)

Дана функция $y = -x^2 + 6x - 6$.

Вынесем коэффициент $a = -1$ за скобки у членов, содержащих $x$, и выделим полный квадрат.

$y = -(x^2 - 6x) - 6$

$y = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 6$

$y = -((x - 3)^2 - 9) - 6$

$y = -(x - 3)^2 + 9 - 6$

$y = -(x - 3)^2 + 3$

Это и есть требуемый вид, где $a=-1$, $m=3$, $n=3$.

График этой функции является параболой, которую можно получить из графика функции $y = -x^2$ путем его смещения на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(3, 3)$.

Ответ: $y = -(x - 3)^2 + 3$.

3)

Дана функция $y = 2x^2 - 4x + 5$.

Вынесем коэффициент $a = 2$ за скобки у членов, содержащих $x$, и выделим полный квадрат.

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

Это и есть требуемый вид, где $a=2$, $m=1$, $n=3$.

График этой функции является параболой, которую можно получить из графика функции $y = 2x^2$ путем его смещения на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

Ответ: $y = 2(x - 1)^2 + 3$.

4)

Дана функция $y = 0,2x^2 - 2x - 4$.

Вынесем коэффициент $a = 0,2$ за скобки у членов, содержащих $x$, и выделим полный квадрат.

$y = 0,2(x^2 - 10x) - 4$

$y = 0,2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2) - 4$

$y = 0,2((x - 5)^2 - 25) - 4$

$y = 0,2(x - 5)^2 - 0,2 \cdot 25 - 4$

$y = 0,2(x - 5)^2 - 5 - 4$

$y = 0,2(x - 5)^2 - 9$

Это и есть требуемый вид, где $a=0,2$, $m=5$, $n=-9$.

График этой функции является параболой, которую можно получить из графика функции $y = 0,2x^2$ путем его смещения на 5 единиц вправо вдоль оси абсцисс и на 9 единиц вниз вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(5, -9)$.

Ответ: $y = 0,2(x - 5)^2 - 9$.