Номер 5.21, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.21, страница 60.

Условие.

5.21. Задайте данную функцию формулой вида $y = a(x - m)^2 + n$ и по-стройте её график, используя график функции $y = ax^2$:

1) $y = x^2 - 2x - 8;$

2) $y = -2x^2 + 8x - 3.$

Решение.

1) y = x² - 2x - 8;

Чтобы представить данную квадратичную функцию в виде $y = a(x - m)^2 + n$, необходимо выделить полный квадрат из выражения $x^2 - 2x - 8$.

Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $x^2 - 2x$ — это первые два слагаемых формулы, где $a=x$ и $2ab=2x$, откуда $b=1$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и вычесть $b^2 = 1^2 = 1$.

$y = x^2 - 2x - 8 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 8$

Теперь сворачиваем выражение в скобках в полный квадрат и упрощаем оставшиеся слагаемые:

$y = (x - 1)^2 - 9$

Мы получили функцию в требуемом виде, где $a=1$, $m=1$ и $n=-9$.

График этой функции — парабола, которую можно построить, выполнив преобразования графика функции $y = x^2$:

1. Сдвинуть график функции $y = x^2$ на 1 единицу вправо по оси Ox.
2. Полученный график сдвинуть на 9 единиц вниз по оси Oy.

Вершина параболы находится в точке с координатами $(m; n)$, то есть $(1; -9)$.

Ответ: $y = (x - 1)^2 - 9$. График функции получается сдвигом графика $y = x^2$ на 1 единицу вправо и на 9 единиц вниз.

2) y = -2x² + 8x - 3.

Для представления функции $y = -2x^2 + 8x - 3$ в виде $y = a(x - m)^2 + n$ также выделим полный квадрат. Сначала вынесем за скобки коэффициент $a = -2$ из первых двух слагаемых:

$y = -2(x^2 - 4x) - 3$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 4x$. Здесь $a=x$ и $2ab=4x$, откуда $b=2$. Прибавим и вычтем $b^2 = 2^2 = 4$ внутри скобок:

$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$

Сгруппируем первые три слагаемых в скобках в полный квадрат и вынесем оставшееся слагаемое $(-4)$ за скобки, умножив его на коэффициент $(-2)$:

$y = -2((x - 2)^2 - 4) - 3$

$y = -2(x - 2)^2 + (-2) \cdot (-4) - 3$

$y = -2(x - 2)^2 + 8 - 3$

$y = -2(x - 2)^2 + 5$

Мы получили функцию в требуемом виде, где $a=-2$, $m=2$ и $n=5$.

График этой функции — парабола, которую можно построить, выполнив преобразования графика функции $y = -2x^2$:

1. Сдвинуть график функции $y = -2x^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox.
2. Полученный график сдвинуть на 5 единиц вверх по оси Oy.

Вершина параболы находится в точке с координатами $(m; n)$, то есть $(2; 5)$.

Ответ: $y = -2(x - 2)^2 + 5$. График функции получается сдвигом графика $y = -2x^2$ на 2 единицы вправо и на 5 единиц вверх.