Номер 5.28, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.28, страница 60.

Условие.

5.28. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\sqrt{x - a} = 1 - x$?

Решение.

Для решения уравнения $\sqrt{x-a} = 1-x$ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение имеет смысл только тогда, когда выполняются два условия: выражение под корнем неотрицательно и правая часть уравнения неотрицательна (поскольку она равна значению арифметического квадратного корня).

1. Условие на подкоренное выражение: $x - a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

2. Условие на правую часть: $1 - x \ge 0$, откуда $x \le 1$.

Таким образом, решение уравнения должно удовлетворять системе неравенств: $\begin{cases} x \ge a \\ x \le 1 \end{cases}$. Эта система имеет решения (и, следовательно, исходное уравнение может иметь корни) только в том случае, если $a \le 1$. Если $a > 1$, то система несовместна, и уравнение не имеет корней.

При условии $x \le 1$ (которое обеспечивает неотрицательность обеих частей), возведём уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x-a})^2 = (1-x)^2$

$x - a = 1 - 2x + x^2$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x + (1+a) = 0$

Теперь найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1+a) = 9 - 4 - 4a = 5 - 4a$.

Квадратное уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$, то есть $5 - 4a \ge 0$, что эквивалентно $a \le \frac{5}{4}$.

Корни квадратного уравнения (если $a \le \frac{5}{4}$):

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5 - 4a}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5 - 4a}}{2}$.

Теперь необходимо проверить, какие из этих корней удовлетворяют исходным условиям ОДЗ, в частности, основному ограничению $x \le 1$.

Проверим корень $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5 - 4a}}{2}$. Так как $\sqrt{5 - 4a} \ge 0$ (при $a \le \frac{5}{4}$), то $3 + \sqrt{5 - 4a} \ge 3$, и, следовательно, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5 - 4a}}{2} \ge \frac{3}{2}$. Поскольку $\frac{3}{2} > 1$, корень $x_2$ всегда больше 1 и не удовлетворяет условию $x \le 1$. Значит, $x_2$ является посторонним корнем для любого значения параметра $a$.

Проверим корень $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5 - 4a}}{2}$. Этот корень является решением исходного уравнения, если он удовлетворяет всем условиям ОДЗ: $x \ge a$ и $x \le 1$.

Проверим условие $x_1 \le 1$:

$\frac{3 - \sqrt{5 - 4a}}{2} \le 1$

$3 - \sqrt{5 - 4a} \le 2$

$1 \le \sqrt{5 - 4a}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, возводим в квадрат: $1 \le 5 - 4a$, что даёт $4a \le 4$, то есть $a \le 1$.

Проверим условие $x_1 \ge a$:

$\frac{3 - \sqrt{5 - 4a}}{2} \ge a$

$3 - 2a \ge \sqrt{5 - 4a}$

Для корректного возведения в квадрат левая часть должна быть неотрицательной: $3 - 2a \ge 0$, то есть $a \le 1.5$. При этом условии возводим в квадрат:

$(3 - 2a)^2 \ge 5 - 4a$

$9 - 12a + 4a^2 \ge 5 - 4a$

$4a^2 - 8a + 4 \ge 0$

$a^2 - 2a + 1 \ge 0 \implies (a-1)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного $a$. Таким образом, условие $x_1 \ge a$ выполняется для всех $a$, при которых наши преобразования были корректны, то есть $a \le 1.5$ и $a \le \frac{5}{4}$ (условие существования корня). Пересечение этих условий — $a \le \frac{5}{4}$.

Итак, для того чтобы $x_1$ был корнем исходного уравнения, должны выполняться все условия, которые мы вывели:

1. Уравнение может иметь корни только если $a \le 1$ (из ОДЗ).

2. Корень $x_1$ существует при $a \le \frac{5}{4}$.

3. Корень $x_1$ удовлетворяет $x_1 \le 1$ при $a \le 1$.

4. Корень $x_1$ удовлетворяет $x_1 \ge a$ при $a \le \frac{5}{4}$.

Пересечение всех этих условий даёт $a \le 1$.

Подведём итог:

• Если $a > 1$, уравнение не имеет корней, так как область допустимых значений пуста.

• Если $a \le 1$, уравнение имеет ровно один корень $x = \frac{3 - \sqrt{5 - 4a}}{2}$.

Ответ: если $a \le 1$, уравнение имеет один корень; если $a > 1$, уравнение не имеет корней.