Номер 5.31, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.31, страница 60.

Условие.

5.31. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = (x + a)^2$ на отрезке $[-4; -2]$.

Решение.

Данная функция $y = (x+a)^2$ является параболой с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -a$, в которой функция достигает своего минимума, равного нулю. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-4; -2]$ зависят от положения вершины $x_v = -a$ относительно этого отрезка.

Для нахождения экстремумов функции на замкнутом интервале необходимо найти значения функции на концах интервала, а также в точке локального экстремума, если она принадлежит этому интервалу. Точкой локального экстремума (минимума) для данной функции является ее вершина $x = -a$.

Рассмотрим три возможных случая расположения вершины параболы относительно отрезка $[-4; -2]$.

Вершина параболы лежит левее отрезка: $-a < -4$, то есть $a > 4$.
На отрезке $[-4; -2]$ функция $y(x)$ монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.
$y_{наим} = y(-4) = (-4+a)^2 = (a-4)^2$.
$y_{наиб} = y(-2) = (-2+a)^2 = (a-2)^2$.

Вершина параболы лежит правее отрезка: $-a > -2$, то есть $a < 2$.
На отрезке $[-4; -2]$ функция $y(x)$ монотонно убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, а наибольшее — в левой.
$y_{наим} = y(-2) = (-2+a)^2 = (a-2)^2$.
$y_{наиб} = y(-4) = (-4+a)^2 = (a-4)^2$.

Вершина параболы лежит внутри отрезка: $-4 \le -a \le -2$, то есть $2 \le a \le 4$.
В этом случае наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно нулю.
$y_{наим} = y(-a) = (-a+a)^2 = 0$.
Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка, а именно на том, который наиболее удален от вершины $x_v = -a$. Середина отрезка $[-4; -2]$ — точка $x=-3$.
- Если вершина находится в правой части отрезка или в его середине, то есть $-3 \le -a \le -2$ (что эквивалентно $2 \le a \le 3$), то точка $x=-4$ будет дальше от вершины. Тогда $y_{наиб} = y(-4) = (a-4)^2$.
- Если вершина находится в левой части отрезка, то есть $-4 \le -a < -3$ (что эквивалентно $3 < a \le 4$), то точка $x=-2$ будет дальше от вершины. Тогда $y_{наиб} = y(-2) = (a-2)^2$.

Теперь объединим полученные результаты.

Наименьшее значение функции ($y_{наим}$):
- При $a < 2$: $y_{наим} = (a-2)^2$.
- При $2 \le a \le 4$: $y_{наим} = 0$.
- При $a > 4$: $y_{наим} = (a-4)^2$.

Наибольшее значение функции ($y_{наиб}$):
- При $a < 2$: $y_{наиб} = (a-4)^2$.
- При $2 \le a \le 3$: $y_{наиб} = (a-4)^2$.
- При $3 < a \le 4$: $y_{наиб} = (a-2)^2$.
- При $a > 4$: $y_{наиб} = (a-2)^2$.
Эти условия для наибольшего значения можно записать компактнее:
- При $a \le 3$: $y_{наиб} = (a-4)^2$.
- При $a > 3$: $y_{наиб} = (a-2)^2$.

Ответ:
Наименьшее значение функции:
$y_{наим} = \begin{cases} (a-2)^2, & \text{при } a < 2 \\0, & \text{при } 2 \le a \le 4 \\(a-4)^2, & \text{при } a > 4 \end{cases}$
Наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = \begin{cases} (a-4)^2, & \text{при } a \le 3 \\(a-2)^2, & \text{при } a > 3 \end{cases}$