Номер 5.37, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.37, страница 61.

Условие.

5.37. Решите уравнение $(x + 5)^4 + (x + 3)^4 = 2.$

Решение.

Данное уравнение $(x + 5)^4 + (x + 3)^4 = 2$ можно решить с помощью введения новой переменной, чтобы упростить выражение. Заметим, что выражения в скобках симметричны относительно среднего арифметического $(x+5)$ и $(x+3)$, которое равно $\frac{(x+5)+(x+3)}{2} = \frac{2x+8}{2} = x+4$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + 4$.

Тогда выразим $(x+5)$ и $(x+3)$ через $y$:

$x + 5 = (x + 4) + 1 = y + 1$

$x + 3 = (x + 4) - 1 = y - 1$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(y + 1)^4 + (y - 1)^4 = 2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона. Для четвертой степени коэффициенты равны 1, 4, 6, 4, 1.

$(y + 1)^4 = y^4 + 4y^3 \cdot 1 + 6y^2 \cdot 1^2 + 4y \cdot 1^3 + 1^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

$(y - 1)^4 = y^4 + 4y^3(-1) + 6y^2(-1)^2 + 4y(-1)^3 + (-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$

Сложим полученные выражения:

$(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) = 2$

Приведем подобные слагаемые. Члены с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 2$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$2y^4 + 12y^2 = 0$

Вынесем общий множитель $2y^2$ за скобки:

$2y^2(y^2 + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2y^2 = 0$, откуда $y = 0$.

2) $y^2 + 6 = 0$, откуда $y^2 = -6$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, мы получили единственное действительное решение для $y$: $y = 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$. Мы использовали замену $y = x + 4$.

$0 = x + 4$

$x = -4$

Проверка: подставим $x = -4$ в исходное уравнение:

$(-4 + 5)^4 + (-4 + 3)^4 = 1^4 + (-1)^4 = 1 + 1 = 2$.

$2 = 2$.

Равенство выполняется, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $-4$.