Номер 6.5, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.5, страница 66.

Условие.

6.5. О функции $y=f(x)$ известно, что $D(f)=\mathbf{R}$, числа $-1$ и $3$ являются её нулями, $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y=f(|x|)$

2) $y=|f(x)|$

Решение.

Для начала проанализируем исходную функцию $y = f(x)$.

Из условия известно:

• Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$).
• Нули функции, то есть значения $x$, при которых $f(x) = 0$, это $x = -1$ и $x = 3$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$) на интервалах $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси (так как $D(f) = \mathbb{R}$) и имеет нули только в точках -1 и 3, то на интервале между нулями $(-1; 3)$ она сохраняет свой знак. Так как на соседних интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; +\infty)$ функция отрицательна, то по свойству непрерывной функции, на интервале $(-1; 3)$ она должна быть положительна.

Итак, для исходной функции $f(x)$ имеем:

• $f(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 3$.
• $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
• $f(x) > 0$ при $x \in (-1; 3)$.

Теперь найдем нули и промежутки знакопостоянства для заданных функций.

1) $y = f(|x|)$

Нули функции:
Для нахождения нулей функции решим уравнение $y = 0$, то есть $f(|x|) = 0$.
Мы знаем, что аргумент функции $f$ должен быть равен -1 или 3. Таким образом, получаем два уравнения:
1. $|x| = -1$. Данное уравнение не имеет решений в действительных числах, так как модуль числа не может быть отрицательным.
2. $|x| = 3$. Данное уравнение имеет два корня: $x = -3$ и $x = 3$.
Следовательно, нулями функции $y = f(|x|)$ являются $x = -3$ и $x = 3$.

Промежутки знакопостоянства:
Нули функции -3 и 3 делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак функции $y = f(|x|)$ на этих интервалах.
- Найдем, где $y > 0$, то есть $f(|x|) > 0$. Это выполняется, когда аргумент функции $|x|$ находится в интервале $(-1; 3)$. Решим неравенство $-1 < |x| < 3$.
Неравенство $|x| > -1$ выполняется для всех действительных $x$.
Неравенство $|x| < 3$ равносильно $-3 < x < 3$.
Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$.
- Найдем, где $y < 0$, то есть $f(|x|) < 0$. Это выполняется, когда $|x| \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Неравенство $|x| < -1$ не имеет решений.
Неравенство $|x| > 3$ равносильно совокупности $x > 3$ или $x < -3$.
Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: нули функции: -3, 3; функция положительна на промежутке $(-3; 3)$; функция отрицательна на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$.

2) $y = |f(x)|$

Нули функции:
Для нахождения нулей решим уравнение $y = 0$, то есть $|f(x)| = 0$.
Это уравнение равносильно $f(x) = 0$.
Из условия известно, что нули функции $f(x)$ — это $x = -1$ и $x = 3$.

Промежутки знакопостоянства:
По определению, модуль действительного числа всегда неотрицателен, то есть $|a| \ge 0$.
Следовательно, функция $y = |f(x)|$ никогда не принимает отрицательных значений. $y \ge 0$ для всех $x$.
Функция будет строго положительна ($y > 0$) там, где ее подмодульное выражение не равно нулю, то есть $f(x) \neq 0$.
Мы знаем, что $f(x) = 0$ только при $x = -1$ и $x = 3$.
Следовательно, $y = |f(x)| > 0$ для всех действительных чисел $x$, кроме -1 и 3.
Промежутки, где $y > 0$: $(-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.
Промежутков, где $y < 0$, не существует.
Ответ: нули функции: -1, 3; функция положительна на промежутках $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$; промежутков, где функция отрицательна, нет.