Номер 6.10, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.10, страница 66.

Условие.

6.10. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$:

1) $||x|-1|=a$;

2) $|(|x|-1)^2-1|=a$;

3) $\sqrt{|x-2|} = a?$

Решение.

1) $||x| - 1| = a$

Левая часть уравнения $||x| - 1|$ неотрицательна, поэтому при $a < 0$ уравнение корней не имеет.

Рассмотрим случай $a \ge 0$. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$|x| - 1 = a$ или $|x| - 1 = -a$

Из этих уравнений получаем:

1. $|x| = 1 + a$

2. $|x| = 1 - a$

Проанализируем количество корней для каждого из этих уравнений в зависимости от $a$.

Для уравнения $|x| = 1 + a$: так как $a \ge 0$, то $1 + a \ge 1$. Это уравнение всегда имеет два различных корня: $x = 1 + a$ и $x = -(1 + a)$.

Для уравнения $|x| = 1 - a$: количество корней зависит от знака выражения $1 - a$.

• Если $1 - a > 0$, то есть $a < 1$, уравнение имеет два различных корня: $x = 1 - a$ и $x = -(1 - a)$.
• Если $1 - a = 0$, то есть $a = 1$, уравнение имеет один корень: $x = 0$.
• Если $1 - a < 0$, то есть $a > 1$, уравнение не имеет корней.

Теперь объединим результаты и рассмотрим все возможные значения $a \ge 0$.

• При $a = 0$:
  Первое уравнение: $|x| = 1$, корни $x_1 = 1, x_2 = -1$.
  Второе уравнение: $|x| = 1$, те же самые корни.
  Всего 2 корня.
• При $0 < a < 1$:
  Первое уравнение $|x| = 1 + a$ дает два корня $x = \pm(1 + a)$.
  Второе уравнение $|x| = 1 - a$ (где $0 < 1 - a < 1$) дает два корня $x = \pm(1 - a)$.
  Все четыре корня различны. Всего 4 корня.
• При $a = 1$:
  Первое уравнение $|x| = 2$ дает два корня $x = \pm 2$.
  Второе уравнение $|x| = 0$ дает один корень $x = 0$.
  Всего 3 корня.
• При $a > 1$:
  Первое уравнение $|x| = 1 + a$ дает два корня $x = \pm(1 + a)$.
  Второе уравнение $|x| = 1 - a$ (где $1 - a < 0$) не имеет корней.
  Всего 2 корня.

Ответ:

• если $a < 0$, корней нет;
• если $a = 0$, 2 корня;
• если $0 < a < 1$, 4 корня;
• если $a = 1$, 3 корня;
• если $a > 1$, 2 корня.

2) $|(|x| - 1)^2 - 1| = a$

Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому при $a < 0$ корней нет.

Рассмотрим случай $a \ge 0$. Уравнение равносильно совокупности:

$(|x| - 1)^2 - 1 = a$ или $(|x| - 1)^2 - 1 = -a$

Отсюда получаем:

1. $(|x| - 1)^2 = 1 + a$

2. $(|x| - 1)^2 = 1 - a$

Проанализируем каждое уравнение.

Уравнение 1: $(|x| - 1)^2 = 1 + a$. Так как $a \ge 0$, то $1 + a \ge 1$. Можем извлечь корень:

$|x| - 1 = \sqrt{1 + a}$ или $|x| - 1 = -\sqrt{1 + a}$

Это приводит к уравнениям:

1a) $|x| = 1 + \sqrt{1 + a}$. Так как $1 + \sqrt{1+a} > 0$, это уравнение всегда имеет 2 корня.

1b) $|x| = 1 - \sqrt{1 + a}$. Так как $a \ge 0$, $\sqrt{1+a} \ge 1$. Если $a > 0$, то $1 - \sqrt{1+a} < 0$, корней нет. Если $a = 0$, то $|x| = 0$, один корень $x=0$.

Уравнение 2: $(|x| - 1)^2 = 1 - a$. Это уравнение имеет решения только при $1 - a \ge 0$, то есть при $0 \le a \le 1$.

Если $0 \le a \le 1$, то извлекаем корень:

$|x| - 1 = \sqrt{1 - a}$ или $|x| - 1 = -\sqrt{1 - a}$

Это приводит к уравнениям:

2a) $|x| = 1 + \sqrt{1 - a}$. Для $0 \le a \le 1$ выражение $1 + \sqrt{1 - a} > 0$, поэтому уравнение имеет 2 корня.

2b) $|x| = 1 - \sqrt{1 - a}$. Для $0 \le a \le 1$ выражение $1 - \sqrt{1 - a} \ge 0$. Если $0 \le a < 1$, то $1 - \sqrt{1-a} > 0$, уравнение имеет 2 корня. Если $a = 1$, то $|x| = 1$, уравнение также имеет 2 корня. (Совпадают с 2а). Если $a=0$, то $|x|=0$, один корень $x=0$.

Объединим результаты:

• При $a = 0$:
  $(|x| - 1)^2 = 1 \implies |x|-1 = \pm 1 \implies |x|=2$ или $|x|=0$.
  Корни: $x = \pm 2$ и $x = 0$. Всего 3 корня.
• При $0 < a < 1$:
  Из (1а) имеем $|x| = 1 + \sqrt{1+a}$ (2 корня).
  Из (1b) корней нет.
  Из (2а) имеем $|x| = 1 + \sqrt{1-a}$ (2 корня).
  Из (2b) имеем $|x| = 1 - \sqrt{1-a}$ (2 корня).
  Все значения $1+\sqrt{1+a}, 1+\sqrt{1-a}, 1-\sqrt{1-a}$ положительны и различны. Всего 6 корней.
• При $a = 1$:
  Из (1а) имеем $|x| = 1 + \sqrt{2}$ (2 корня: $x=\pm(1+\sqrt{2})$).
  Из (1b) корней нет.
  Уравнение (2) превращается в $(|x|-1)^2 = 0 \implies |x|=1$ (2 корня: $x=\pm 1$).
  Всего 4 корня.
• При $a > 1$:
  Из (1а) имеем $|x| = 1 + \sqrt{1+a}$ (2 корня).
  Из (1b) корней нет.
  Уравнение (2) не имеет решений, так как $1-a < 0$.
  Всего 2 корня.

Ответ:

• если $a < 0$, корней нет;
• если $a = 0$, 3 корня;
• если $0 < a < 1$, 6 корней;
• если $a = 1$, 4 корня;
• если $a > 1$, 2 корня.

3) $|\sqrt{x} - 2| = a$

Область допустимых значений для $x$ определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, при $a < 0$ уравнение корней не имеет.

Рассмотрим случай $a \ge 0$. Уравнение равносильно совокупности:

$\sqrt{x} - 2 = a$ или $\sqrt{x} - 2 = -a$

Отсюда получаем:

1. $\sqrt{x} = 2 + a$

2. $\sqrt{x} = 2 - a$

Проанализируем каждое уравнение.

Уравнение 1: $\sqrt{x} = 2 + a$. Так как $a \ge 0$, то $2+a > 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем единственный корень $x = (2 + a)^2$.

Уравнение 2: $\sqrt{x} = 2 - a$. Это уравнение имеет решение только в том случае, если его правая часть неотрицательна, то есть $2 - a \ge 0 \implies a \le 2$.

• Если $0 \le a < 2$, то $2-a > 0$. Возводим в квадрат и получаем единственный корень $x = (2 - a)^2$.
• Если $a = 2$, то $\sqrt{x} = 0$, откуда $x = 0$.
• Если $a > 2$, то $2-a < 0$, и уравнение не имеет корней.

Объединим результаты:

• При $a=0$:
  Уравнение (1) дает $x=(2+0)^2=4$.
  Уравнение (2) дает $x=(2-0)^2=4$.
  Имеется один корень $x=4$.
• При $0 < a < 2$:
  Уравнение (1) дает корень $x = (2+a)^2$.
  Уравнение (2) дает корень $x = (2-a)^2$.
  Так как $a \neq 0$, корни различны. Всего 2 корня.
• При $a = 2$:
  Уравнение (1) дает корень $x = (2+2)^2=16$.
  Уравнение (2) дает корень $x = (2-2)^2=0$.
  Всего 2 корня.
• При $a > 2$:
  Уравнение (1) дает корень $x = (2+a)^2$.
  Уравнение (2) корней не имеет.
  Всего 1 корень.

Ответ:

• если $a < 0$, корней нет;
• если $a = 0$ или $a > 2$, 1 корень;
• если $0 < a \le 2$, 2 корня.