Номер 6.3, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.3, страница 66.

Условие.

6.3. О функции $y = f(x)$ известно, что $D(f) = [-3; 7]$ и $E(f) = [-6; 5]$.

Найдите:

1) область определения функции $y = f(|x|)$;

2) область определения и область значений функции $y = |f(x)|$.

Решение.

1) область определения функции $y = f(|x|)$

Область определения исходной функции $y = f(x)$ дана как $D(f) = [-3; 7]$. Это означает, что функция $f(t)$ определена для всех $t$, таких что $-3 \le t \le 7$.

Для функции $y = f(|x|)$ аргументом является $|x|$. Следовательно, чтобы функция была определена, ее аргумент должен принадлежать области определения функции $f$. То есть, должно выполняться условие:

$|x| \in [-3; 7]$

Это условие равносильно двойному неравенству $-3 \le |x| \le 7$.

Разобьем это двойное неравенство на систему:

$\begin{cases} |x| \ge -3 \\ |x| \le 7 \end{cases}$

Первое неравенство, $|x| \ge -3$, выполняется для любого действительного числа $x$, так как модуль числа по определению всегда неотрицателен.

Второе неравенство, $|x| \le 7$, равносильно двойному неравенству $-7 \le x \le 7$.

Объединяя решения системы, получаем, что областью определения функции $y = f(|x|)$ является отрезок $[-7; 7]$.

Ответ: $D(f(|x|)) = [-7; 7]$.

2) область определения и область значений функции $y = |f(x)|$

Область определения:

Функция $y = |f(x)|$ определена для тех же значений $x$, для которых определена функция $y = f(x)$, поскольку операция взятия модуля определена для любого действительного числа. По условию, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = [-3; 7]$.

Следовательно, область определения функции $y = |f(x)|$ также является отрезок $[-3; 7]$.

Область значений:

По условию, область значений функции $y = f(x)$ есть $E(f) = [-6; 5]$. Это означает, что для любого $x$ из области определения, значение $f(x)$ удовлетворяет неравенству:

$-6 \le f(x) \le 5$

Нам нужно найти множество всех возможных значений выражения $|f(x)|$. Так как $f(x)$ принимает все значения от -6 до 5, нам нужно найти, какие значения принимает $|y|$ при $y \in [-6; 5]$.

По определению, модуль любого числа неотрицателен, поэтому наименьшее значение $|f(x)|$ равно 0. Это значение достигается, так как 0 принадлежит отрезку $[-6; 5]$.

Наибольшее значение $|f(x)|$ будет равно наибольшему из модулей концов отрезка $[-6; 5]$:

$\max(|-6|, |5|) = \max(6, 5) = 6$.

Таким образом, значения $|f(x)|$ лежат в пределах от 0 до 6 включительно.

Следовательно, область значений функции $y = |f(x)|$ есть $E(|f(x)|) = [0; 6]$.

Ответ: область определения $D(|f(x)|) = [-3; 7]$; область значений $E(|f(x)|) = [0; 6]$.