Номер 6.7, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.7, страница 66.

Условие.

6.7. Постройте график функции:

1) $y = (|x| + 2)^2$;

2) $y = \sqrt{|x| - 3}$;

3) $y = \sqrt{2 - |x|}$.

Решение.

1) $y = (|x| + 2)^2$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| + 2)^2 = (|x| + 2)^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси $OY$). Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси $OY$.

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$, и функция принимает вид $y = (x + 2)^2$. Это график стандартной параболы $y = x^2$, сдвинутой на 2 единицы влево. Вершина этой параболы находится в точке $(-2, 0)$.

Построим эту часть графика для $x \ge 0$, найдя несколько точек:
- при $x = 0$, $y = (0 + 2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
- при $x = 1$, $y = (1 + 2)^2 = 9$. Точка $(1, 9)$.
- при $x = 2$, $y = (2 + 2)^2 = 16$. Точка $(2, 16)$.
Таким образом, для $x \ge 0$ мы получаем ветвь параболы, выходящую из точки $(0, 4)$ и идущую вверх.

Теперь отразим эту часть графика симметрично относительно оси $OY$. Точка $(0, 4)$ останется на месте, точка $(1, 9)$ перейдет в $(-1, 9)$, точка $(2, 16)$ в $(-2, 16)$ и так далее.

Можно также рассмотреть случай $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = (-x + 2)^2 = (x - 2)^2$. Это график параболы $y = x^2$, сдвинутой на 2 единицы вправо, что и соответствует отраженной левой части.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей парабол. Правая ветвь ($x \ge 0$) является частью параболы $y = (x+2)^2$, а левая ветвь ($x < 0$) — частью параболы $y = (x-2)^2$. График симметричен относительно оси $OY$ и имеет точку минимума $(0, 4)$.

2) $y = \sqrt{|x| - 3}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$|x| - 3 \ge 0$
$|x| \ge 3$
Это неравенство выполняется при $x \ge 3$ или $x \le -3$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Функция является четной, так как зависит от $|x|$, следовательно, ее график симметричен относительно оси $OY$. Построим график для $x \ge 3$ и отразим его.

При $x \ge 3$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x - 3}$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо.

Найдем несколько точек для этой ветви:
- при $x = 3$, $y = \sqrt{3 - 3} = 0$. Точка $(3, 0)$.
- при $x = 4$, $y = \sqrt{4 - 3} = 1$. Точка $(4, 1)$.
- при $x = 7$, $y = \sqrt{7 - 3} = 2$. Точка $(7, 2)$.

Теперь отразим эту ветвь симметрично относительно оси $OY$, чтобы получить часть графика для $x \le -3$. Точка $(3, 0)$ перейдет в $(-3, 0)$, $(4, 1)$ в $(-4, 1)$, $(7, 2)$ в $(-7, 2)$. Эта левая ветвь соответствует функции $y = \sqrt{-x - 3}$.

Ответ: График функции состоит из двух симметричных относительно оси $OY$ ветвей, определенных на $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$. Правая ветвь начинается в точке $(3, 0)$ и является графиком функции $y = \sqrt{x-3}$. Левая ветвь начинается в точке $(-3, 0)$ и является графиком функции $y = \sqrt{-x-3}$.

3) $y = \sqrt{2 - |x|}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - |x| \ge 0$
$|x| \le 2$
Это неравенство эквивалентно $-2 \le x \le 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = [-2, 2]$.

Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{2 - |-x|} = \sqrt{2 - |x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси $OY$. Построим график для $x \in [0, 2]$ и отразим его.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{2 - x}$. Чтобы понять форму графика, возведем обе части в квадрат: $y^2 = 2 - x$, или $x = 2 - y^2$ (при условии $y \ge 0$). Это верхняя половина параболы, ветви которой направлены влево, а вершина находится в точке $(2, 0)$.

Найдем несколько точек для этой части графика ($x \in [0, 2]$):
- при $x = 2$, $y = \sqrt{2 - 2} = 0$. Точка $(2, 0)$.
- при $x = 1$, $y = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
- при $x = 0$, $y = \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$.

Отразив эту дугу относительно оси $OY$, получим левую часть графика на отрезке $[-2, 0]$. Точка $(2, 0)$ перейдет в $(-2, 0)$, $(1, 1)$ в $(-1, 1)$, а точка $(0, \sqrt{2})$ останется на месте, являясь точкой максимума.

Ответ: График функции представляет собой дугу, симметричную относительно оси $OY$, определенную на отрезке $[-2, 2]$. График проходит через точки $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и достигает своего максимума в точке $(0, \sqrt{2})$. Он состоит из двух дуг парабол: $x = 2 - y^2$ для $x \ge 0$ и $x = y^2 - 2$ для $x < 0$.