Вопросы?, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - страница 65.

Условие.

1. Как можно построить график функции $y = f(|x|)$, используя график функции $y = f(x)$?

2. Как можно построить график функции $y = |f(x)|$, используя график функции $y = f(x)$?

Решение.

1. Как можно построить график функции $y = f(|x|)$, используя график функции $y = f(x)$?

Построение графика функции $y = f(|x|)$ на основе графика $y = f(x)$ выполняется в несколько шагов. Это преобразование затрагивает аргумент функции, $x$.

Алгоритм построения:

1. Сохранить ту часть графика функции $y = f(x)$, которая соответствует неотрицательным значениям аргумента, то есть для всех $x \ge 0$. Эта часть графика расположена в правой полуплоскости и на оси ординат ($Oy$).
2. Отбросить ту часть графика функции $y = f(x)$, которая соответствует отрицательным значениям аргумента, то есть для всех $x < 0$.
3. Симметрично отразить сохраненную на первом шаге часть графика относительно оси ординат ($Oy$) в левую полуплоскость.

Объединение сохраненной части графика (для $x \ge 0$) и ее симметричного отражения (для $x < 0$) и является искомым графиком функции $y = f(|x|)$.

Такое правило построения следует из того, что функция $y = f(|x|)$ является чётной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$, а значит, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = f(x)$. Поэтому в правой полуплоскости графики совпадают.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = f(-x)$. Это означает, что значение функции в любой отрицательной точке $x$ равно значению в противоположной ей положительной точке $-x$, что и задает симметрию относительно оси $Oy$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, нужно часть графика $y = f(x)$ для $x \ge 0$ оставить без изменений, а затем симметрично отразить эту часть относительно оси ординат ($Oy$), получив таким образом часть графика для $x < 0$.

2. Как можно построить график функции $y = |f(x)|$, используя график функции $y = f(x)$?

Построение графика функции $y = |f(x)|$ на основе графика $y = f(x)$ также выполняется по определённому правилу. В этом случае преобразование затрагивает значение самой функции, $y$.

Алгоритм построения:

1. Оставить без изменений те части графика функции $y = f(x)$, которые расположены выше оси абсцисс ($Ox$) или на самой оси. Это части, где $f(x) \ge 0$.
2. Те части графика функции $y = f(x)$, которые расположены ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси абсцисс ($Ox$).

Объединение неизменённых частей графика и отражённых частей является искомым графиком функции $y = |f(x)|$. Весь полученный график будет расположен в верхней полуплоскости или на оси $Ox$.

Это правило следует непосредственно из определения модуля:

• Если значение функции $f(x)$ неотрицательно, то есть $f(x) \ge 0$, то $|f(x)| = f(x)$. В этом случае график не меняется.
• Если значение функции $f(x)$ отрицательно, то есть $f(x) < 0$, то $|f(x)| = -f(x)$. В этом случае ордината каждой точки графика меняет знак на противоположный, что геометрически соответствует симметричному отражению относительно оси $Ox$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, нужно часть графика $y = f(x)$, расположенную выше или на оси $Ox$, оставить без изменений, а часть графика, расположенную ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.