Номер 6.4, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.4, страница 66.

Условие.

6.4. О функции $y=f(x)$ известно, что $D(f) = R$, числа $-3$ и $2$ являются её нулями, $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции: 1) $y = f(|x|)$; 2) $y = |f(x)|$.

Решение.

Сначала проанализируем исходную функцию $y = f(x)$. Из условия известно, что её область определения $D(f) = \mathbb{R}$, нулями являются числа -3 и 2 (то есть, $f(-3) = 0$ и $f(2) = 0$), а значения функции положительны ($f(x) > 0$) при $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Поскольку область определения — вся числовая прямая, а нули функции находятся в точках $x=-3$ и $x=2$, то на интервале между нулями $(-3; 2)$ функция сохраняет свой знак. Так как на остальных интервалах функция положительна, то на этом интервале она должна быть отрицательна. Таким образом, $f(x) < 0$ при $x \in (-3; 2)$.

1) $y = f(|x|)$

Найдём нули функции, решив уравнение $f(|x|) = 0$. Поскольку нулями функции $f(x)$ являются числа -3 и 2, то аргумент функции $|x|$ должен быть равен -3 или 2. Рассмотрим два случая: 1) $|x| = -3$ — это уравнение не имеет действительных решений, так как модуль числа не может быть отрицательным; 2) $|x| = 2$ — это уравнение имеет два корня: $x = -2$ и $x = 2$. Таким образом, нули функции $y = f(|x|)$ — это числа -2 и 2.

Найдём промежутки знакопостоянства. Функция $y = f(|x|)$ положительна, когда $f(|x|) > 0$. Это выполняется, если аргумент $|x|$ принадлежит области, где $f(x)$ положительна: $|x| \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Неравенство $|x| < -3$ не имеет решений. Неравенство $|x| > 2$ выполняется при $x < -2$ или $x > 2$. Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Функция $y = f(|x|)$ отрицательна, когда $f(|x|) < 0$. Это выполняется, если $|x|$ принадлежит области, где $f(x)$ отрицательна: $|x| \in (-3; 2)$. Так как $|x| \ge 0$, это эквивалентно неравенству $0 \le |x| < 2$, которое выполняется при $x \in (-2; 2)$. Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-2; 2)$.

Ответ: нули функции: -2, 2; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2; 2)$.

2) $y = |f(x)|$

Найдём нули функции, решив уравнение $|f(x)| = 0$. Это уравнение равносильно $f(x) = 0$. Из условия известно, что нули функции $f(x)$ — это $x=-3$ и $x=2$. Следовательно, нули функции $y = |f(x)|$ — это числа -3 и 2.

Найдём промежутки знакопостоянства. Функция $y = |f(x)|$ положительна, когда $|f(x)| > 0$. Модуль действительного числа положителен всегда, когда само число не равно нулю. Это означает, что $y > 0$ для всех $x$, кроме нулей функции. Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 2) \cup (2; +\infty)$.

Функция $y = |f(x)|$ не может быть отрицательной, так как модуль действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $|f(x)| < 0$ не имеет решений.

Ответ: нули функции: -3, 2; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 2) \cup (2; +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, не существует.