Номер 6.9, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.9, страница 66.

Условие.

6.9. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{|x-3|}$;

2) $y = \sqrt{|x-2|-3}$;

3) $y = \frac{1}{|x-1|-4}$.

Решение.

1) $y = \sqrt{|x-3|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x-3|}$ выполним последовательные преобразования, начиная с базового графика $y = \sqrt{x}$.

1. Строим график функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0,0)$ и расположенная в первой координатной четверти.

2. Строим график функции $y_2 = \sqrt{|x|}$. Для этого часть графика $y_1 = \sqrt{x}$, находящуюся при $x \ge 0$ (то есть весь график), оставляем без изменений и симметрично отражаем ее относительно оси ординат (оси OY). Получим график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси OY, с общей точкой в начале координат.

3. Строим искомый график $y = \sqrt{|x-3|}$. Для этого сдвигаем график функции $y_2 = \sqrt{|x|}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси OX).

Итоговый график имеет следующие свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как подкоренное выражение $|x-3| \ge 0$ для любого $x$.

• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

• График симметричен относительно вертикальной прямой $x=3$.

• Минимальное значение функция принимает в точке $x=3$, $y(3)=0$. Это "вершина" графика.

• Контрольные точки: $(3, 0)$, $(4, 1)$, $(2, 1)$, $(7, 2)$, $(-1, 2)$.

Ответ: График функции представляет собой две симметричные относительно прямой $x=3$ ветви, выходящие из точки $(3,0)$. Каждая ветвь является частью параболы. Для $x \ge 3$ это график $y=\sqrt{x-3}$, а для $x < 3$ это график $y=\sqrt{-(x-3)} = \sqrt{3-x}$.

2) $y = \sqrt{|x-2|-3}$

Сначала найдем область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$|x-2|-3 \ge 0$

$|x-2| \ge 3$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x-2 \ge 3$ или $x-2 \le -3$

$x \ge 5$ или $x \le -1$

Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.

Для построения графика рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 5$, то $x-2 > 0$, и $|x-2| = x-2$. Функция принимает вид $y = \sqrt{(x-2)-3} = \sqrt{x-5}$. Это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 5 единиц вправо вдоль оси OX. График начинается в точке $(5,0)$ и уходит вправо и вверх.

2. Если $x \le -1$, то $x-2 < 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Функция принимает вид $y = \sqrt{(2-x)-3} = \sqrt{-x-1}$. Это график функции $y=\sqrt{-x}$ (симметричный $y=\sqrt{x}$ относительно оси OY), сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси OX. График начинается в точке $(-1,0)$ и уходит влево и вверх.

Таким образом, график состоит из двух отдельных ветвей.

• Правая ветвь начинается в точке $(5,0)$ и является частью графика $y=\sqrt{x-5}$.

• Левая ветвь начинается в точке $(-1,0)$ и является частью графика $y=\sqrt{-x-1}$.

• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей. Первая ветвь — это график функции $y=\sqrt{x-5}$ на промежутке $[5; +\infty)$, начинающийся в точке $(5,0)$. Вторая ветвь — это график функции $y=\sqrt{-x-1}$ на промежутке $(-\infty; -1]$, начинающийся в точке $(-1,0)$.

3) $y = \frac{1}{|x-1|-4}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$|x-1|-4 \neq 0$

$|x-1| \neq 4$

Отсюда $x-1 \neq 4$ и $x-1 \neq -4$.

$x \neq 5$ и $x \neq -3$.

Область определения $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 5) \cup (5; +\infty)$.

Прямые $x=-3$ и $x=5$ являются вертикальными асимптотами графика.

При $x \to \pm\infty$, знаменатель $|x-1|-4 \to \infty$, следовательно $y \to 0$. Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Функция имеет вид $y = \frac{1}{(x-1)-4} = \frac{1}{x-5}$. На промежутке $[1, +\infty)$ строим график этой функции. Это ветвь гиперболы, смещенной на 5 единиц вправо. На этом промежутке она имеет вертикальную асимптоту $x=5$. В точке $x=1$ значение функции $y(1) = \frac{1}{1-5} = -1/4$.

2. Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$. Функция имеет вид $y = \frac{1}{-(x-1)-4} = \frac{1}{-x-3}$. На промежутке $(-\infty, 1)$ строим график этой функции. Это ветвь гиперболы $y = \frac{-1}{x+3}$, смещенной на 3 единицы влево и отраженной относительно оси OX. На этом промежутке она имеет вертикальную асимптоту $x=-3$.

Объединяя эти два случая, получаем итоговый график:

• На интервале $(-\infty, -3)$ график расположен выше оси OX и стремится к асимптотам $x=-3$ и $y=0$.

• На интервале $(-3, 5)$ график представляет собой "колокол", обращенный ветвями вниз. Он проходит через точку $(0, -1/3)$ (пересечение с осью OY) и имеет точку локального максимума в $(1, -1/4)$. При приближении к $x=-3$ и $x=5$ с внутренней стороны интервала, $y \to -\infty$.

• На интервале $(5, +\infty)$ график расположен выше оси OX и стремится к асимптотам $x=5$ и $y=0$.

Ответ: График функции имеет две вертикальные асимптоты $x=-3$ и $x=5$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Он состоит из трех ветвей. Две крайние ветви (при $x<-3$ и $x>5$) находятся в верхней полуплоскости. Средняя ветвь (при $-3 < x < 5$) находится в нижней полуплоскости и имеет максимум в точке $(1, -1/4)$.