Номер 6.2, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.2, страница 65.

Условие.

6.2. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x-1}|$;

2) $y = \left|\frac{4}{|x-2|}\right|$;

3) $y = \left|\frac{x+2}{|x-3|}\right|$.

Решение.

1) $y = |\sqrt{x} - 1|$

Для построения графика функции $y = |\sqrt{x} - 1|$ необходимо выполнить построение по шагам:

1. Построить график функции $y_1 = \sqrt{x} - 1$. Этот график получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ (верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$) путем его сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Область определения функции: $x \ge 0$.
2. Далее необходимо применить преобразование $y = |f(x)|$. Это преобразование оставляет без изменений ту часть графика функции $y_1 = \sqrt{x} - 1$, которая находится выше или на оси абсцисс, и симметрично отражает относительно оси абсцисс ту часть графика, которая находится ниже этой оси.
3. Найдем интервал, на котором $y_1 < 0$:
   $\sqrt{x} - 1 < 0 \Rightarrow \sqrt{x} < 1$.
   Возводя в квадрат обе части неравенства (это возможно, т.к. обе части неотрицательны), получаем $x < 1$. С учетом области определения ($x \ge 0$), имеем $0 \le x < 1$.
4. Таким образом, часть графика на промежутке $[0, 1)$ отражается симметрично относительно оси $Ox$. Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$, точка $(1, 0)$ остается на месте. Часть графика при $x \ge 1$ остается без изменений.

Ответ: График функции получается из графика $y=\sqrt{x}-1$ путем отражения его части, лежащей ниже оси Ox (на интервале $x \in [0, 1)$), симметрично относительно оси Ox.

2) $y = |\frac{4}{x - 2}|$

Для построения графика функции $y = |\frac{4}{x - 2}|$ необходимо выполнить построение по шагам:

1. Построить график функции $y_1 = \frac{4}{x - 2}$. Это гипербола, полученная из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.
   Вертикальная асимптота: $x = 2$.
   Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось $Ox$).
2. Применить преобразование $y = |f(x)|$. Часть графика $y_1$, расположенная ниже оси $Ox$, отражается симметрично относительно этой оси.
3. Найдем, где $y_1 < 0$. Так как числитель 4 всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя:
   $x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2$.
4. Следовательно, ветвь гиперболы, расположенная в области $x < 2$ (ниже оси $Ox$), отражается вверх. Ветвь гиперболы при $x > 2$ (выше оси $Ox$) остается на месте. В результате обе ветви графика будут находиться выше оси абсцисс.

Ответ: График функции представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первом и втором координатных квадрантах относительно асимптот $x=2$ и $y=0$. Обе ветви лежат выше оси $Ox$.

3) $y = |\frac{x + 2}{x - 3}|$

Для построения графика функции $y = |\frac{x + 2}{x - 3}|$ необходимо выполнить построение по шагам:

1. Построить график функции $y_1 = \frac{x + 2}{x - 3}$. Для этого преобразуем дробь, выделив целую часть:
   $y_1 = \frac{x - 3 + 5}{x - 3} = \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{5}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3}$.
   Это гипербола, полученная из графика $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$ и на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.
2. Асимптоты графика $y_1$: вертикальная $x = 3$ и горизонтальная $y = 1$.
   Точки пересечения с осями координат:
   при $x=0$, $y_1 = -2/3$. Точка $(0, -2/3)$.
   при $y_1=0$, $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. Точка $(-2, 0)$.
3. Применить преобразование $y = |f(x)|$. Часть графика $y_1$, лежащая ниже оси $Ox$, отражается симметрично относительно этой оси.
4. Найдем, где $y_1 < 0$. Решим неравенство $\frac{x+2}{x-3} < 0$. Методом интервалов получаем, что $x \in (-2, 3)$.
5. Таким образом, часть графика на интервале $(-2, 3)$ отражается симметрично относительно оси $Ox$. Остальные части графика остаются без изменений. Точка $(0, -2/3)$ переходит в точку $(0, 2/3)$, а точка $(-2, 0)$ остается на месте, становясь точкой касания графика с осью $Ox$.

Ответ: График функции получается из графика гиперболы $y_1 = \frac{x+2}{x-3}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс той его части, которая лежит ниже этой оси (на интервале $x \in (-2, 3)$).