Номер 6.6, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.6, страница 66.

Условие.

6.6. Постройте график функции:

1) $y = (|x| - 1)^2$;

2) $y = \sqrt{|x| + 2}$;

3) $y = \frac{1}{|x| - 3}$.

Решение.

1) $y = (|x| - 1)^2$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| - 1)^2 = (|x| - 1)^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1. Построить график функции $y = (x - 1)^2$ для $x \ge 0$.
2. Отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.

Шаг 1: График функции $y = (x - 1)^2$ — это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 1 единицу вправо по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

Рассмотрим эту параболу для $x \ge 0$. Она начинается в точке $(0, 1)$ (пересечение с осью Oy), спускается до вершины в точке $(1, 0)$ и затем снова возрастает.

Шаг 2: Отображаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Точка $(1, 0)$ отобразится в точку $(-1, 0)$. Точка $(0, 1)$ останется на месте. Ветвь параболы, идущая из $(1, 0)$ вправо, отобразится в ветвь, идущую из $(-1, 0)$ влево.

Итоговый график состоит из двух частей парабол:
- $y = (x - 1)^2$ при $x \ge 0$
- $y = (-x - 1)^2 = (x + 1)^2$ при $x < 0$
График имеет форму буквы 'W'.
Ключевые точки:
- Точки минимума (вершины): $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
- Точка локального максимума (пересечение с Oy): $(0, 1)$.
- Корни (пересечение с Ox): $x = -1$ и $x = 1$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол: правой части параболы $y=(x-1)^2$ (при $x \ge 0$) и ее симметричного отражения относительно оси Oy. График имеет характерную форму буквы 'W' с минимумами в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$ и локальным максимумом в точке $(0,1)$.

2) $y = \sqrt{|x| + 2}$

Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x| + 2} = \sqrt{|x| + 2} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

Область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным. Так как $|x| \ge 0$ для любого $x$, то $|x| + 2 \ge 2 > 0$. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Для построения графика построим сначала график функции $y = \sqrt{x + 2}$ для $x \ge 0$, а затем отразим его симметрично относительно оси Oy.

Шаг 1: График функции $y = \sqrt{x+2}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$ (верхняя ветвь параболы $x=y^2$), сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox.

Рассмотрим его для $x \ge 0$. При $x=0$, $y=\sqrt{2} \approx 1.41$. Это начальная точка нашей кривой в правой полуплоскости. С ростом $x$ значение $y$ также возрастает. Например, при $x=2, y=\sqrt{4}=2$; при $x=7, y=\sqrt{9}=3$.

Шаг 2: Отображаем полученную кривую, начинающуюся в точке $(0, \sqrt{2})$ и идущую вправо, симметрично относительно оси Oy. Получим вторую ветвь, которая также начинается в точке $(0, \sqrt{2})$ и идет влево.

Итоговый график состоит из двух симметричных ветвей, выходящих из общей точки $(0, \sqrt{2})$, которая является точкой минимума.
Ключевые точки:
- Точка минимума (пересечение с Oy): $(0, \sqrt{2})$.
- Пересечений с осью Ox нет, так как $y \ge \sqrt{2}$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и состоит из двух ветвей. Он получается построением графика $y=\sqrt{x+2}$ для $x \ge 0$ и его симметричным отражением относительно оси Oy. Минимальное значение функция принимает в точке $(0, \sqrt{2})$.

3) $y = \frac{1}{|x| - 3}$

Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x| - 3} = \frac{1}{|x| - 3} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю. $|x| - 3 \ne 0 \implies |x| \ne 3$. Таким образом, $x \ne 3$ и $x \ne -3$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; \infty)$.

Прямые $x = 3$ и $x = -3$ являются вертикальными асимптотами.
При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$, следовательно, прямая $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

Для построения графика построим сначала график функции $y = \frac{1}{x - 3}$ для $x \ge 0$, а затем отразим его симметрично относительно оси Oy.

Шаг 1: График $y = \frac{1}{x - 3}$ — это гипербола $y = \frac{1}{x}$, сдвинутая на 3 единицы вправо. У нее есть вертикальная асимптота $x=3$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Рассмотрим эту гиперболу для $x \ge 0$:
- На интервале $[0, 3)$, график находится под осью Ox. При $x=0, y = -1/3$. При $x \to 3^-$, $y \to -\infty$.
- На интервале $(3, +\infty)$, график находится над осью Ox. При $x \to 3^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 0^+$.

Шаг 2: Отображаем полученные части графика симметрично относительно оси Oy.
- Вертикальная асимптота $x=3$ отражается в $x=-3$.
- Часть графика на $[0, 3)$ отражается на интервал $(-3, 0]$. Точка $(0, -1/3)$ остается на месте. Получается "шапочка", ограниченная асимптотами $x=-3$ и $x=3$, с вершиной в $(0, -1/3)$.
- Ветвь гиперболы на $(3, +\infty)$ отражается в ветвь на $(-\infty, -3)$. Эта ветвь будет находиться над осью Ox, приближаясь к асимптотам $x=-3$ (слева) и $y=0$.

Ответ: График функции состоит из трех частей и симметричен относительно оси Oy. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=3$ и $x=-3$, и одну горизонтальную асимптоту $y=0$. На интервале $(-3, 3)$ график представляет собой кривую с локальным максимумом в точке $(0, -1/3)$, уходящую в бесконечность вниз по мере приближения к асимптотам. На интервалах $(-\infty, -3)$ и $(3, \infty)$ график представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в верхней полуплоскости.