Номер 6.1, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.1, страница 65.

Условие.

6.1. Постройте график функции:

1) $y = |x^2 - 1|$;

2) $y = \left|\frac{2}{x} - 1\right|$;

3) $y = \left|\frac{x - 4}{x + 1}\right|$.

Решение.

1) $y = |x^2 - 1|$

Для построения графика функции $y = |x^2 - 1|$ используется следующий алгоритм: сначала строится график функции $y = x^2 - 1$, а затем часть графика, расположенная ниже оси абсцисс ($Ox$), симметрично отражается относительно этой оси.

1. Построение графика $y = x^2 - 1$.
Это график параболы $y = x^2$, смещенной на 1 единицу вниз вдоль оси ординат ($Oy$).
- Ветви параболы направлены вверх.
- Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.
- Точки пересечения с осями координат:
- С осью $Ox$: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
- С осью $Oy$: $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.

2. Применение операции взятия модуля $y = |x^2 - 1|$.
- Часть графика, для которой $x^2 - 1 \ge 0$ (т.е. при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$), остается без изменений.
- Часть графика, для которой $x^2 - 1 < 0$ (т.е. при $x \in (-1, 1)$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. Эта отраженная часть описывается функцией $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$. Вершина $(0, -1)$ исходной параболы отразится в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2 - 1$ на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, и параболу $y = 1 - x^2$ на промежутке $(-1, 1)$.

2) $y = |\frac{2}{x} - 1|$

Для построения графика функции $y = |\frac{2}{x} - 1|$ сначала построим график функции $y = \frac{2}{x} - 1$, а затем отразим часть графика, находящуюся ниже оси $Ox$, симметрично относительно этой оси.

1. Построение графика $y = \frac{2}{x} - 1$.
Это график гиперболы $y = \frac{2}{x}$, смещенной на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = -1$.
- Точка пересечения с осью $Ox$: $\frac{2}{x} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{2}{x} = 1 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2, 0)$.

2. Применение операции взятия модуля $y = |\frac{2}{x} - 1|$.
- Часть графика, для которой $\frac{2}{x} - 1 \ge 0$ (т.е. при $x \in (0, 2]$), остается без изменений.
- Часть графика, для которой $\frac{2}{x} - 1 < 0$ (т.е. при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. Эта отраженная часть описывается функцией $y = -(\frac{2}{x} - 1) = 1 - \frac{2}{x}$. Горизонтальная асимптота $y = -1$ отразится в горизонтальную асимптоту $y = 1$ для этих частей графика.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x = 0$. При $x \to \pm \infty$ график асимптотически приближается к прямой $y = 1$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(2, 0)$ и не пересекает ось $Oy$.

3) $y = |\frac{x - 4}{x + 1}|$

Для построения графика функции $y = |\frac{x - 4}{x + 1}|$ сначала построим график дробей-линейной функции $y = \frac{x - 4}{x + 1}$, а затем отразим его отрицательную часть относительно оси $Ox$.

1. Построение графика $y = \frac{x - 4}{x + 1}$.
Выделим целую часть: $y = \frac{x + 1 - 5}{x + 1} = 1 - \frac{5}{x + 1}$.
Это график гиперболы $y = -\frac{5}{x}$, смещенной на 1 единицу влево по оси $Ox$ и на 1 единицу вверх по оси $Oy$.
- Вертикальная асимптота: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 1$.
- Точки пересечения с осями координат:
- С осью $Ox$: $\frac{x - 4}{x + 1} = 0 \Rightarrow x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.
- С осью $Oy$: $y = \frac{0 - 4}{0 + 1} = -4$. Точка $(0, -4)$.

2. Применение операции взятия модуля $y = |\frac{x - 4}{x + 1}|$.
- Часть графика, для которой $\frac{x - 4}{x + 1} \ge 0$ (т.е. при $x \in (-\infty, -1) \cup [4, \infty)$), остается без изменений.
- Часть графика, для которой $\frac{x - 4}{x + 1} < 0$ (т.е. при $x \in (-1, 4)$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. Точка пересечения с осью $Oy$ $(0, -4)$ отразится в точку $(0, 4)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x = -1$ и горизонтальную асимптоту $y = 1$. Он касается оси $Ox$ в точке $(4, 0)$ и пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 4)$.