Номер 5.35, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.35, страница 61.

Условие.

5.35. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $2 - x^2 = |x + a|$?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков двух функций: $y = 2 - x^2$ и $y = |x + a|$.

Первая функция, $y = 2 - x^2$, представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 2)$.

Вторая функция, $y = |x + a|$, представляет собой "галочку" (или "уголок"), вершина которой находится в точке $(-a, 0)$. Положение этой вершины зависит от параметра $a$ и смещается вдоль оси $Ox$.

Количество точек пересечения (и, следовательно, корней уравнения) будет меняться в зависимости от положения "галочки" относительно параболы. Критическими являются положения, когда одна из ветвей "галочки" касается параболы.

Найдем значения параметра $a$, при которых происходит касание.

"Галочка" состоит из двух лучей:

1. $y = x + a$ при $x \ge -a$ (правая ветвь с угловым коэффициентом $k=1$).
2. $y = -(x + a) = -x - a$ при $x < -a$ (левая ветвь с угловым коэффициентом $k=-1$).

Найдем производную функции параболы: $y' = (2 - x^2)' = -2x$.

1. Касание с правой ветвью ($k=1$)

Условие касания — равенство угловых коэффициентов касательной и прямой:

$y' = 1 \Rightarrow -2x = 1 \Rightarrow x = -1/2$.

Найдем ординату точки касания на параболе:

$y = 2 - (-1/2)^2 = 2 - 1/4 = 7/4$.

Точка касания — $(-1/2, 7/4)$. Эта точка также должна лежать на прямой $y = x + a$. Подставим ее координаты в уравнение прямой, чтобы найти $a$:

$7/4 = -1/2 + a \Rightarrow a = 7/4 + 1/2 = 7/4 + 2/4 = 9/4$.

Итак, при $a = 9/4$ происходит одно касание.

2. Касание с левой ветвью ($k=-1$)

Аналогично, приравняем угловые коэффициенты:

$y' = -1 \Rightarrow -2x = -1 \Rightarrow x = 1/2$.

Найдем ординату точки касания на параболе:

$y = 2 - (1/2)^2 = 2 - 1/4 = 7/4$.

Точка касания — $(1/2, 7/4)$. Эта точка должна лежать на прямой $y = -x - a$. Подставим ее координаты:

$7/4 = -1/2 - a \Rightarrow a = -1/2 - 7/4 = -2/4 - 7/4 = -9/4$.

Итак, при $a = -9/4$ также происходит одно касание.

Теперь рассмотрим все возможные значения параметра $a$, основываясь на найденных критических точках $a = 9/4$ и $a = -9/4$.

• Если $a > 9/4$ или $a < -9/4$ (то есть $|a| > 9/4$):

  Вершина "галочки" $(-a, 0)$ смещена далеко влево ($a > 9/4$) или далеко вправо ($a < -9/4$) от параболы. В этих случаях графики не пересекаются.

  Следовательно, уравнение не имеет корней.

• Если $a = 9/4$ или $a = -9/4$ (то есть $|a| = 9/4$):

  В этих случаях одна из ветвей "галочки" касается параболы. Имеется ровно одна точка пересечения.

  Следовательно, уравнение имеет один корень.

• Если $-9/4 < a < 9/4$ (то есть $|a| < 9/4$):

  "Галочка" расположена таким образом, что она пересекает параболу в двух точках. Каждая из ветвей "галочки" пересекает параболу ровно один раз в своей области определения.

  Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ:

• при $a \in (-\infty; -9/4) \cup (9/4; +\infty)$ — нет корней;
• при $a = -9/4$ и $a = 9/4$ — один корень;
• при $a \in (-9/4; 9/4)$ — два корня.