Номер 5.30, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 5. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 5.30, страница 60.

Условие.

5.30. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[1; 3]$.

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[1; 3]$ необходимо рассмотреть три возможных случая расположения точки $a$ относительно этого отрезка.

Наименьшее значение

Функция $f(x) = |x - a|$ выражает расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой. Её наименьшее значение на всей числовой прямой равно 0 и достигается при $x=a$.

1. Если точка $a$ принадлежит отрезку $[1; 3]$, то есть $1 \le a \le 3$, то наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x=a$ и равно $f(a) = |a - a| = 0$.

2. Если точка $a$ находится левее отрезка, то есть $a < 1$, то на всём отрезке $[1; 3]$ выполняется неравенство $x > a$. Таким образом, $f(x) = |x - a| = x - a$. Эта функция является линейной и возрастающей. Её наименьшее значение на отрезке $[1; 3]$ достигается в левом конце отрезка, при $x=1$. Это значение равно $f(1) = |1 - a| = 1 - a$.

3. Если точка $a$ находится правее отрезка, то есть $a > 3$, то на всём отрезке $[1; 3]$ выполняется неравенство $x < a$. Таким образом, $f(x) = |x - a| = -(x - a) = a - x$. Эта функция является линейной и убывающей. Её наименьшее значение на отрезке $[1; 3]$ достигается в правом конце отрезка, при $x=3$. Это значение равно $f(3) = |3 - a| = a - 3$.

Объединяя все случаи, получаем, что наименьшее значение функции $f_{min}$ на отрезке $[1; 3]$ зависит от параметра $a$ следующим образом:

Ответ: наименьшее значение функции $f_{min} = \begin{cases} 1-a, & \text{если } a < 1 \\ 0, & \text{если } 1 \le a \le 3 \\ a-3, & \text{если } a > 3 \end{cases}$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение непрерывной функции на замкнутом отрезке достигается либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума внутри него. Функция $f(x) = |x - a|$ имеет единственную точку экстремума (минимум) при $x=a$. Следовательно, наибольшее значение на отрезке $[1; 3]$ будет достигаться на одном из его концов, то есть в точке $x=1$ или $x=3$. Таким образом, наибольшее значение равно $\max(f(1), f(3)) = \max(|1-a|, |3-a|)$.

1. Если $a < 1$, функция $f(x)=x-a$ возрастает на отрезке $[1; 3]$. Наибольшее значение достигается при $x=3$ и равно $f(3)=|3-a|=3-a$.

2. Если $a > 3$, функция $f(x)=a-x$ убывает на отрезке $[1; 3]$. Наибольшее значение достигается при $x=1$ и равно $f(1)=|1-a|=a-1$.

3. Если $1 \le a \le 3$, наибольшее значение равно расстоянию от точки $a$ до наиболее удалённого конца отрезка $[1; 3]$. Серединой отрезка является точка $x=2$. Если $1 \le a \le 2$, то точка $x=3$ является не менее удалённой, чем $x=1$, поэтому наибольшее значение равно $f(3)=|3-a|=3-a$. Если $2 < a \le 3$, то точка $x=1$ является более удалённой, и наибольшее значение равно $f(1)=|1-a|=a-1$.

Объединяя все случаи для наибольшего значения $f_{max}$, получаем: если $a \le 2$ (что объединяет случаи $a < 1$ и $1 \le a \le 2$), то $f_{max} = 3-a$. Если $a > 2$ (что объединяет случаи $2 < a \le 3$ и $a > 3$), то $f_{max} = a-1$. Заметим, что при $a=2$ оба выражения дают значение 1.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = \begin{cases} 3-a, & \text{если } a \le 2 \\ a-1, & \text{если } a > 2 \end{cases}$.